Một vòng tròn có tâm nằm trên đường thẳng y = 7 / 2x +3 và đi qua (1, 2) và (8, 1). Phương trình của đường tròn là gì?

Câu trả lời:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

Giải trình:

Điểm A #(1,2)# và điểm B #(8,1)# phải có cùng khoảng cách (một bán kính) từ tâm vòng tròn

Đây là điểm nằm trên đường thẳng của điểm (L) cách xa A và B

công thức tính khoảng cách (d) giữa hai điểm (từ pythagorus) là # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

thay thế những gì chúng ta biết cho điểm A và một điểm tùy ý trên L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

thay thế những gì chúng ta biết cho điểm B và một điểm tùy ý trên L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

vì thế

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

Mở rộng dấu ngoặc

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

Đơn giản hóa

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

điểm trung tâm nằm trên đường thẳng #y = 7x - 30 # (tập hợp các điểm cách xa A và B)

và trên dòng #y = 7x / 2 + 3 # (được)

giải quyết nơi hai đường thẳng này giao nhau để tìm tâm của đường tròn

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

thay thế vào #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

Tâm của vòng tròn là tại #(66/7, 36)#

bán kính bình phương của vòng tròn bây giờ có thể được tính là

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

Công thức chung cho hình tròn hoặc bán kính # r # Là

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # với tâm ở h, k

Bây giờ chúng ta biết # h #, # k # và # r ^ 2 # và có thể thay thế chúng vào phương trình tổng quát cho đường tròn

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

mở rộng dấu ngoặc

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

và đơn giản hóa

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #