Một quả bóng được thả thẳng xuống từ độ cao 12 feet. Khi chạm đất, nó bị trả lại 1/3 khoảng cách. Quả bóng sẽ đi được bao xa (cả lên và xuống) trước khi nó nghỉ ngơi?

Câu trả lời:

Bóng sẽ đi được 24 feet.

Giải trình:

Vấn đề này đòi hỏi phải xem xét loạt vô hạn. Xem xét hành vi thực tế của quả bóng:

Đầu tiên bóng rơi 12 feet.

Tiếp theo bóng nảy lên #12/3 = 4# đôi chân.

Bóng sau đó rơi 4 chân.

Trên mỗi lần nảy liên tiếp, bóng đi

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # chân, ở đâu # n # là số lần thoát

Vì vậy, nếu chúng ta tưởng tượng rằng quả bóng bắt đầu từ #n = 0 #, sau đó câu trả lời của chúng tôi có thể thu được từ loạt hình học:

# sum_ (n = 0) ^ vô số 24 ^ ^ - 12 #

Lưu ý #-12# thuật ngữ điều chỉnh, điều này là bởi vì nếu chúng ta bắt đầu từ # n = 0 # chúng tôi đang đếm độ nảy 0 của 12 feet lên và 12 feet xuống. Trong thực tế, quả bóng chỉ đi được một nửa số đó, vì nó bắt đầu trong không trung.

Chúng tôi có thể đơn giản hóa tổng của chúng tôi để:

# 24sum_ (n = 0) ^ vô số 1/3 ^ n - 12 #

Đây chỉ là một loạt hình học đơn giản, tuân theo quy tắc:

#lim_ (n-> vô cùng) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Miễn là # | r | <1 #

Điều này mang lại một giải pháp đơn giản cho vấn đề của chúng tôi:

# 24sum_ (n = 0) ^ vô số 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# đôi chân.