Hiển thị rằng int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Câu trả lời:

Xem giải thích

Giải trình:

Chúng tôi muốn thể hiện

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Đây là một tích phân khá "xấu xí", vì vậy cách tiếp cận của chúng tôi sẽ không phải là giải quyết tích phân này, mà so sánh nó với một tích phân "đẹp hơn"

Chúng tôi bây giờ cho tất cả các số thực dương # màu (đỏ) (sin (x) <= x) #

Do đó, giá trị của integrand cũng sẽ lớn hơn, đối với tất cả các số thực dương, nếu chúng ta thay thế # x = sin (x) #, vì vậy nếu chúng ta có thể hiển thị

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Sau đó, tuyên bố đầu tiên của chúng tôi cũng phải đúng

Tích phân mới là một vấn đề thay thế đơn giản

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1 #

Bước cuối cùng là để ý rằng #sin (x) = x => x = 0 #

Vì vậy, chúng tôi có thể kết luận

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #