Chứng minh rằng diện tích bóng mờ màu tím bằng diện tích hình tròn của tam giác đều (hình tròn sọc màu vàng)?

Câu trả lời:

Giải trình:

Diện tích của vòng tròn là # cướp biển ^ 2 #.

Ghi chú tam giác vuông với cạnh huyền # R # và chân # r # tại đáy của tam giác đều, thông qua lượng giác hoặc tính chất của #30 -60 -90 # đúng tam giác chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ # R = 2r #.

Lưu ý rằng góc đối diện # r # Là #30 # kể từ tam giác đều #60 # góc bị cắt đôi.

Tam giác tương tự này có thể được giải thông qua định lý Pythagore để chỉ ra rằng một nửa chiều dài cạnh của tam giác đều là #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Bây giờ kiểm tra một nửa tam giác đều là tam giác vuông, chúng ta thấy rằng chiều cao # h # của tam giác đều có thể được giải theo các giá trị # r # sử dụng mối quan hệ #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Kể từ khi #tan (60) = sqrt3 #, điều này trở thành # h / (rsqrt3) = sqrt3 # vì thế # h = 3r #.

Diện tích của tam giác đều là # 1 / 2bh #và cơ sở của nó là # 2rsqrt3 # và chiều cao của nó # 3r #. Vì vậy, khu vực của nó là # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Diện tích của vùng bóng mờ nhỏ hơn bằng một phần ba diện tích của tam giác đều trừ đi hình tròn, hoặc # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # tương đương với # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Diện tích của vòng tròn lớn hơn là # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Diện tích của vùng bóng mờ lớn hơn bằng một phần ba diện tích của vòng tròn lớn hơn trừ đi diện tích của tam giác đều, hoặc # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # mà đơn giản hóa để được # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Tổng diện tích của khu vực bóng mờ sau đó # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) + r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi)) / 3) = cướp biển ^ 2 #, tương đương với khu vực của incircle.

Câu trả lời:

Giải trình:

Cho một tam giác đều trọng tâm, trung tâm của chu vi và orthocenter trùng.

Vì vậy, Bán kính cicumcircle (R) và bán kính của incircle (r) sẽ có mối quan hệ sau

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Bây giờ từ con số rõ ràng là khu vực của khu vực bóng mờ màu tím LỚN# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) #

Và khu vực của khu vực bóng mờ màu tím nhỏ# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

Ở đâu #Delta # đại diện cho diện tích của tam giác đều.

Vì thế

#color (màu tím) ("Vùng TOTAL của vùng bóng mờ LỚN và NHỎ" #

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-hủyDelta + hủyDelta-pir ^ 2) #

Chèn R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-cướp ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-cướp ^ 2) #

# = 1 / Canc3xxcelon3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> màu (cam) "Vùng hình tròn sọc vàng" #