Phương trình của đường thẳng bình thường đối với đường cong cực f (theta) = - 5eta- sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) tại theta = số Pi?

Câu trả lời:

Đường dây là #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Giải trình:

Khủng bố của một phương trình được bắt nguồn thông qua một quá trình hơi dài. Trước tiên tôi sẽ phác thảo các bước mà quá trình phái sinh sẽ tiến hành và sau đó thực hiện các bước đó.

Chúng ta được cung cấp một hàm trong tọa độ cực, #f (theta) #. Chúng ta có thể lấy đạo hàm, #f '(theta) #, nhưng để thực sự tìm thấy một dòng trong tọa độ cartesian, chúng ta sẽ cần # dy / dx #.

Chúng ta có thể tìm thấy # dy / dx # bằng cách sử dụng phương trình sau:

# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

Sau đó, chúng tôi sẽ cắm độ dốc đó vào mẫu đường cartesian tiêu chuẩn:

#y = mx + b #

Và chèn tọa độ cực chuyển đổi cartesian của điểm quan tâm của chúng tôi:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) tội lỗi (theta) #

Một vài điều nên rõ ràng ngay lập tức và sẽ giúp chúng ta tiết kiệm thời gian xuống dòng. Chúng tôi đang đi một đường tiếp tuyến đến điểm #theta = pi #. Điều này có nghĩa rằng #sin (theta) = 0 # vì thế…

1) Phương trình của chúng tôi cho # dy / dx # sẽ thực sự là:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Phương trình của chúng ta cho tọa độ cartesian của điểm của chúng ta sẽ trở thành:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Bắt đầu thực sự giải quyết vấn đề, sau đó, đơn hàng đầu tiên của chúng tôi là tìm kiếm #f '(theta) #. Không khó, chỉ có ba công cụ phái sinh dễ dàng với quy tắc chuỗi được áp dụng cho hai:

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 giây ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Bây giờ chúng tôi muốn biết #f (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

Và #f '(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 giây ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

Với những thứ này trong tay, chúng tôi đã sẵn sàng để xác định độ dốc của chúng tôi:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Chúng ta có thể cắm cái này vào # m # trong #y = mx + b #. Hãy nhớ lại rằng trước đây chúng tôi đã xác định rằng # y = 0 # và #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Chúng tôi có thể kết hợp xác định trước đây của chúng tôi # m # với quyết tâm mới của chúng tôi # b # để đưa ra phương trình cho dòng:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #