Làm thế nào để bạn nhân (4 + 6i) (3 + 7i) dưới dạng lượng giác?

Trước hết chúng ta phải chuyển đổi hai số này thành các dạng lượng giác.

Nếu # (a + ib) # là một số phức # u # là độ lớn của nó và # alpha # là góc của nó rồi # (a + ib) # ở dạng lượng giác được viết là #u (cosalpha + isinalpha) #.

Độ lớn của một số phức # (a + ib) # được đưa ra bởi#sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # và góc của nó được cho bởi # tan ^ -1 (b / a) #

Để cho # r # là độ lớn của # (4 + 6i) # và # theta # là góc của nó.

Tầm quan trọng của # (4 + 6i) = sqrt (4 ^ 2 + 6 ^ 2) = sqrt (16 + 36) = sqrt52 = 2sqrt13 = r #

Góc của # (4 + 6i) = Tân ^ -1 (6/4) = tan ^ -1 (3/2) = theta #

#implies (4 + 6i) = r (Costheta + isintheta) #

Để cho #S# là độ lớn của # (3 + 7i) # và # phi # là góc của nó.

Tầm quan trọng của # (3 + 7i) = sqrt (3 ^ 2 + 7 ^ 2) = sqrt (9 + 49) = sqrt58 = s #

Góc của # (3 + 7i) = Tân ^ -1 (7/3) = phi #

#implies (3 + 7i) = s (Cosphi + isinphi) #

Hiện nay,

# (4 + 6i) (3 + 7i) #

# = r (Costheta + isintheta) * s (Cosphi + isinphi) #

# = rs (costhetacosphi + isinthetacosphi + icosthetasinphi + i ^ 2sinthetasinphi) #

# = rs (costhetacosphi-sinthetasinphi) + i (sinthetacosphi + costhetasinphi) #

# = rs (cos (theta + phi) + isin (theta + phi)) #

Ở đây chúng tôi có mọi thứ hiện diện nhưng nếu ở đây thay thế trực tiếp các giá trị thì từ đó sẽ lộn xộn #theta + phi # vì vậy trước tiên hãy tìm hiểu # theta + phi #.

# theta + phi = tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) #

Chúng ta biết rằng:

# tan ^ -1 (a) + tan ^ -1 (b) = tan ^ -1 ((a + b) / (1-ab)) #

#implies tan ^ -1 (3/2) + tan ^ -1 (7/3) = tan ^ -1 (((3/2) + (7/3)) / (1- (3/2) (7/3))) = tan ^ -1 ((9 + 14) / (6-21)) #

# = tan ^ -1 ((23) / (- 15)) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies theta + phi = tan ^ -1 (-23/15) #

#rs (cos (theta + phi) + isin (theta + phi)) #

# = 2sqrt13sqrt58 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

# = 2sqrt (754) (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #

Đây là câu trả lời cuối cùng của bạn.

Bạn cũng có thể làm điều đó bằng một phương pháp khác.

Trước tiên, nhân các số phức và sau đó thay đổi nó thành dạng lượng giác, dễ dàng hơn nhiều so với số này.

# (4 + 6i) (3 + 7i) = 12 + 28i + 18i + 42i ^ 2 = 12 + 46i-42 = -30 + 46i #

Bây giờ thay đổi # -30 + 46i # ở dạng lượng giác.

Tầm quan trọng của # -30 + 46i = sqrt ((- 30) ^ 2 + (46) ^ 2) = sqrt (900 + 2116) = sqrt3016 = 2sqrt754 #

Góc của # -30 + 46i = tan ^ -1 (46 / -30) = tan ^ -1 (-23/15) #

#implies -30 + 46i = 2sqrt754 (cos (tan ^ -1 (-23/15)) + isin (tan ^ -1 (-23/15))) #