Tích phân của int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx là gì?

Câu trả lời:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Giải trình:

Vấn đề lớn của chúng tôi trong tích phân này là gốc, vì vậy chúng tôi muốn thoát khỏi nó. Chúng tôi có thể làm điều này bằng cách giới thiệu một sự thay thế # u = sqrt (2x-1) #. Đạo hàm là

# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Vì vậy, chúng tôi chia qua (và nhớ rằng, chia cho một đối ứng cũng giống như nhân với mẫu số) để tích hợp với # u #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / hủy (sqrt (2x-1)) hủy (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du #

Bây giờ tất cả những gì chúng ta cần làm là thể hiện # x ^ 2 # về mặt # u # (vì bạn không thể tích hợp # x # đối với # u #):

# u = sqrt (2x-1) #

# u ^ 2 = 2x-1 #

# u ^ 2 + 1 = 2x #

# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Chúng tôi có thể cắm lại vào tích phân của chúng tôi để có được:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Điều này có thể được đánh giá bằng cách sử dụng quy tắc công suất ngược:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Đặt lại cho # u = sqrt (2x-1) #, chúng tôi nhận được:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #