Công thức chung cho phân biệt đối xử của một đa thức bậc n là gì?

Câu trả lời:

Xem giải thích …

Giải trình:

Sự phân biệt của một đa thức #f (x) # bằng cấp # n # có thể được mô tả theo thuật ngữ xác định ma trận Sylvester của #f (x) # và #f '(x) # như sau:

Được:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Chúng ta có:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Ma trận Sylvester của #f (x) # và #f '(x) # là một # (2n-1) xx (2n-1) # ma trận được hình thành bằng cách sử dụng các hệ số của chúng, tương tự như ví dụ sau cho # n = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0), 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Sau đó, phân biệt đối xử # Delta # được đưa ra dưới dạng xác định của ma trận Sylvester theo công thức:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Dành cho # n = 2 # chúng ta có:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(mà bạn có thể tìm thấy dễ nhận biết hơn trong mẫu #Delta = b ^ 2-4ac #)

Dành cho # n = 3 # chúng ta có:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (trắng) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Các phân biệt đối xử cho tứ giác (# n = 2 #) và hình khối (# n = 3 #) là hữu ích nhất ở chỗ chúng cho bạn biết chính xác có bao nhiêu số không phức tạp thực, lặp lại hoặc không thực mà một đa thức có.

Việc giải thích phân biệt đối xử cho đa thức bậc cao bị hạn chế hơn, nhưng luôn có thuộc tính là đa thức đã lặp lại các số 0 khi và chỉ khi phân biệt đối xử bằng không.

#màu trắng)()#

đọc thêm

Xem http://www2.math.uu.se/~svante/ con / sjN5.pdf