Làm cách nào để tìm tích phân int (x * e ^ -x) dx?

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #

Quá trình:

#int x e ^ (- x) dx = # ?

Tích phân này sẽ yêu cầu tích hợp bởi các bộ phận. Hãy ghi nhớ công thức:

#int u dv = uv - int v du #

Chúng tôi sẽ để #u = x #và #dv = e ^ (- x) dx #.

Vì thế, #du = dx #. Phát hiện # v # sẽ yêu cầu một # u #-thay thế; Tôi sẽ sử dụng bức thư # q # thay vì # u # vì chúng tôi đã sử dụng # u # trong tích hợp theo công thức bộ phận.

#v = int e ^ (- x) dx #

để cho #q = -x #.

do đó, #dq = -dx #

Chúng tôi sẽ viết lại tích phân, thêm hai phủ định để chứa # dq #:

#v = -int -e ^ (- x) dx #

Viết về # q #:

#v = -int e ^ (q) dq #

Vì thế,

#v = -e ^ (q) #

Thay thế trở lại cho # q # cho chúng tôi:

#v = -e ^ (- x) #

Bây giờ, nhìn lại công thức của IBP, chúng tôi có mọi thứ chúng tôi cần để bắt đầu thay thế:

#int xe ^ (- x) dx = x * (- e ^ (- x)) - int -e ^ (- x) dx #

Đơn giản hóa, hủy bỏ hai tiêu cực:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) + int e ^ (- x) dx #

Tích phân thứ hai đó phải dễ giải quyết - nó bằng # v #, mà chúng tôi đã tìm thấy. Đơn giản chỉ cần thay thế, nhưng hãy nhớ thêm hằng số tích hợp:

#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #