Tích phân của (ln (xe ^ x)) / x là gì?

Câu trả lời:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Giải trình:

Chúng ta được cho:

# int # #ln (xe ^ x) / (x) dx #

Sử dụng #ln (ab) = ln (a) + ln (b) #:

# = int # # (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx #

Sử dụng #ln (a ^ b) = bln (a) #:

# = int # # (ln (x) + xln (e)) / (x) dx #

Sử dụng #ln (e) = 1 #:

# = int # # (ln (x) + x) / (x) dx #

Tách phần (# x / x = 1 #):

# = int # # (ln (x) / x + 1) dx #

Tách các tích phân:

# = int # #ln (x) / xdx + int dx #

Tích phân thứ hai đơn giản là #x + C #, Ở đâu # C # là một hằng số tùy ý. Tích phân đầu tiên, chúng tôi sử dụng # u #-thay thế:

Để cho #u Equiv ln (x) #, vì thế #du = 1 / x dx #

Sử dụng # u #-thay thế:

# = int udu + x + C #

Tích hợp (hằng số tùy ý # C # có thể hấp thụ hằng số tùy ý của tích phân không xác định đầu tiên:

# = u ^ 2/2 + x + C #

Thay thế trở lại về mặt # x #:

# = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Câu trả lời:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #

Giải trình:

Chúng tôi bắt đầu bằng cách sử dụng danh tính logarit sau:

#ln (ab) = ln (a) + ln (b) #

Áp dụng điều này cho tích phân, chúng tôi nhận được:

#int (ln (xe ^ x)) / x dx = int ln (x) / x + ln (e ^ x) / x dx = #

# = int ln (x) / x + x / x dx = int ln (x) / x + 1 dx = int ln (x) / x dx + x #

Để đánh giá tích phân còn lại, chúng tôi sử dụng tích hợp theo các phần:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Tôi sẽ để #f (x) = ln (x) # và #g '(x) = 1 / x #. Sau đó chúng ta có thể tính toán rằng:

#f '(x) = 1 / x # và #g (x) = ln (x) #

Sau đó chúng ta có thể áp dụng tích hợp theo công thức phần để có được:

#int ln (x) / x dx = ln (x) * ln (x) -int ln (x) / x dx #

Vì chúng ta có tích phân ở cả hai phía của dấu bằng, nên chúng ta có thể giải nó như một phương trình:

# 2int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) #

#int ln (x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + C #

Cắm lại vào biểu thức ban đầu, chúng tôi nhận được câu trả lời cuối cùng:

#int ln (xe ^ x) / x dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C #