Độ dốc của đường tiếp tuyến của r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) tại theta = (pi) / 4 là gì?

Câu trả lời:

Độ dốc là #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

Giải trình:

Dưới đây là một tham chiếu đến Tangents với tọa độ cực

Từ tham chiếu, chúng ta có được phương trình sau:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + RCos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Chúng ta cần tính toán # (dr) / (d theta) # nhưng hãy quan sát điều đó #r (theta) # có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng danh tính #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (theta) / theta #

# (dr) / (d theta) = (g (theta) / (h (theta))) '= (g' (theta) h (theta) - h '(theta) g (theta)) / (h (theta)) ^ 2 #

#g (theta) = -tan ^ 2 (theta) #

#g '(theta) = -2tan (theta) giây ^ 2 (theta) #

#h (theta) = theta #

#h '(theta) = 1 #

# (dr) / (d theta) = (-2thetatan (theta) giây ^ 2 (theta) + tan ^ 2 (theta)) / (theta) ^ 2 #

Hãy đánh giá những điều trên tại # pi / 4 #

# giây ^ 2 (pi / 4) = 2 #

#tan (pi / 4) = 1 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi ^ 2)) #

#r '(pi / 4) = (16- 16pi) / (pi ^ 2) #

Đánh giá r tại # pi / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

Lưu ý: Tôi đã thực hiện mẫu số trên # pi ^ 2 # do đó, nó là phổ biến với mẫu số của # r '# và do đó, sẽ hủy khi chúng ta đặt chúng vào phương trình sau:

# dy / dx = ((dr) / (d theta) sin (theta) + RCos (theta)) / ((dr) / (d theta) cos (theta) - rsin (theta)) #

Tại # pi / 4 # các sin và cosin bằng nhau, do đó, chúng sẽ hủy.

Chúng tôi đã sẵn sàng để viết một phương trình cho độ dốc, m:

#m = (16 - 16pi + -4pi) / (16 - 16pi - -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #