Sức mạnh thứ tư của sự khác biệt chung của một tiến trình số học là với các mục nguyên được thêm vào sản phẩm của bất kỳ bốn số hạng liên tiếp nào của nó. Chứng minh rằng tổng kết quả là bình phương của một số nguyên?

Đặt sự khác biệt chung của một AP số nguyên là # 2ngày #.

Bất kỳ bốn điều khoản liên tiếp của sự tiến triển có thể được đại diện là # a-3d, a-d, a + d và + 3d #, Ở đâu # a # là một số nguyên.

Vì vậy, tổng của các sản phẩm của bốn điều khoản này và sức mạnh thứ tư của sự khác biệt chung # (2đ) ^ 4 # sẽ là

# = màu (xanh dương) ((a-3d) (a-d) (a + d) (a + 3d)) + màu (đỏ) ((2d) ^ 4) #

# = màu (xanh dương) ((a ^ 2-9d ^ 2) (a ^ 2-d ^ 2)) + màu (đỏ) (16d ^ 4) #

# = màu (xanh dương) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 9d ^ 4) + màu (đỏ) (16d ^ 4) #

# = màu (xanh) ((a ^ 4-10d ^ 2a ^ 2 + 25d ^ 4) #

# = màu (xanh lá cây) ((a ^ 2-5d ^ 2) ^ 2 #, đó là một hình vuông hoàn hảo.