Tất cả các giá trị cho k mà int_2 ^ kx ^ 5dx = 0 là gì?

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

và

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # nhưng

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # và

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # vì thế

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

hoặc là

# {(k + 2 = 0), (k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0), (k-2 = 0), (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0):} #

rồi cuối cùng

giá trị thực #k = {-2,2} #

giá trị phức tạp #k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} #

Câu trả lời:

# k = + - 2 #

Giải trình:

Chúng tôi yêu cầu:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Tích hợp chúng tôi nhận được:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 màu (trắng) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Gia sư răng #k bằng RR # (thực sự có #6# nguồn gốc, #4# trong đó phức tạp)

Bây giờ, tùy thuộc vào bối cảnh của vấn đề, người ta có thể lập luận rằng #k <2 # (I E # k = -2 #) không hợp lệ vì #k> = 2 # để làm cho "bên trong" phù hợp, do đó loại trừ giải pháp đó, nhưng không có bất kỳ bối cảnh nào, việc đưa vào cả hai giải pháp là hợp lý.

Ngoài ra, lưu ý rằng #k = + - 2 # có thể được hiển thị là giải pháp mà không thực sự thực hiện bất kỳ tích hợp nào.

Thứ nhất, một tính chất của tích phân xác định là:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

vì vậy chúng tôi có thể ngay lập tức thiết lập # k = 2 # là một giải pháp.

Thứ hai, # x ^ 5 # là một lẻ hàm và các hàm lẻ thỏa mãn:

# f (-x) = f (x) #

và có đối xứng quay về nguồn gốc. như vậy, nếu #f (x) # là số lẻ rồi:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

vì vậy chúng tôi có thể ngay lập tức thiết lập # k = -2 # là một giải pháp.

Tuy nhiên, việc tích hợp và tính toán tiếp theo chứng minh rằng đây là những giải pháp duy nhất!