Một chức năng có thể liên tục và không khác biệt trên một miền nhất định ??

Câu trả lời:

Vâng.

Giải trình:

Một trong những ví dụ nổi bật nhất của điều này là hàm Weierstrass, được phát hiện bởi Karl Weierstrass mà ông đã định nghĩa trong bài báo gốc của mình là:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

Ở đâu # 0 <a <1 #, # b # là số nguyên lẻ dương và #ab> (3pi + 2) / 2 #

Đây là một chức năng rất nhọn, liên tục ở khắp mọi nơi trên dòng Real, nhưng không có gì khác biệt.

Câu trả lời:

Có, nếu nó có một điểm "uốn cong". Một ví dụ là #f (x) = | x | # tại # x_0 = 0 #

Giải trình:

Chức năng liên tục thực tế có nghĩa là vẽ nó mà không cần lấy bút chì của bạn ra khỏi giấy. Về mặt toán học, nó có nghĩa là cho bất kỳ # x_0 # các giá trị của #f (x_0) # khi chúng được tiếp cận với vô cùng nhỏ # dx # từ trái và phải phải bằng nhau:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

trong đó dấu trừ có nghĩa là tiếp cận từ trái và dấu cộng có nghĩa là tiếp cận từ phải.

Chức năng khác biệt thực tế có nghĩa là một chức năng thay đổi độ dốc đều đặn (KHÔNG ở tốc độ không đổi). Do đó, một chức năng không khác biệt tại một điểm nhất định trên thực tế có nghĩa là nó đột ngột thay đổi độ dốc từ bên trái của điểm đó sang bên phải.

Chúng ta hãy xem 2 chức năng.

#f (x) = x ^ 2 # tại # x_0 = 2 #

Đồ thị

đồ thị {x ^ 2 -10, 10, -5,21, 5.21}

Đồ thị (phóng to)

đồ thị {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Từ lúc # x_0 = 2 # đồ thị có thể được hình thành mà không cần lấy bút chì ra khỏi giấy, chức năng là liên tục tại điểm đó. Vì nó không bị bẻ cong tại thời điểm đó, nó cũng khác biệt.

#g (x) = | x | # tại # x_0 = 0 #

Đồ thị

đồ thị {absx -10, 10, -5,21, 5.21}

Tại # x_0 = 0 # chức năng là liên tục vì nó có thể được vẽ mà không cần lấy bút chì ra khỏi giấy. Tuy nhiên, vì nó cho mượn tại thời điểm đó, nên chức năng này không khác biệt.