Làm thế nào để bạn tìm thấy tính chống đối của (e ^ x) / (1 + e ^ (2x))?

Câu trả lời:

#arctan (e ^ x) + C #

Giải trình:

# "viết" e ^ x "dx là" d (e ^ x) ", sau đó chúng tôi có được" #

#int (d (e ^ x)) / (1+ (e ^ x) ^ 2) #

# "với sự thay thế y =" e ^ x ", chúng tôi nhận được" #

#int (d (y)) / (1 + y ^ 2) #

# "bằng với" #

#arctan (y) + C #

# "Bây giờ thay thế trở lại" y = e ^ x: #

#arctan (e ^ x) + C #

Câu trả lời:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = arctane ^ x + "c" #

Giải trình:

Chúng tôi muốn tìm # inte ^ x / (1 + e ^ (2x)) "d" x = int1 / (1+ (e ^ x) ^ 2) e ^ x "d" x #

Bây giờ hãy để # u = e ^ x # và do đó, sự khác biệt ở cả hai bên cho # du = e ^ xdx #. Bây giờ chúng ta thay thế cả hai phương trình này thành tích phân để có được

# int1 / (1 + u ^ 2) "d" u #

Đây là một tích phân tiêu chuẩn đánh giá # arctanu #. Thay thế trở lại cho # x # chúng tôi nhận được câu trả lời cuối cùng:

#arctan e ^ x + "c" #

Câu trả lời:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = tan ^ -1 (e ^ x) + C #

Giải trình:

Đầu tiên, chúng tôi để # u = 1 + e ^ (2x) #. Hòa nhập với # u #, chúng tôi chia theo đạo hàm của # u #, đó là # 2e ^ (2x) #:

#int e ^ x / (1 + e ^ (2x)) dx = 1 / 2int e ^ x / (e ^ (2x) * u) du = 1 / 2int e ^ x / (e ^ x * e ^ x * u) du = #

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du #

Hòa nhập với # u #, chúng tôi cần mọi thứ thể hiện dưới dạng # u #, vì vậy chúng ta cần phải giải quyết cho những gì # e ^ x # là về # u #:

# u = 1 + e ^ (2x) #

# e ^ (2x) = u-1 #

# 2x = ln (u-1) #

# x = 1 / 2ln (u-1) #

# x = ln ((u-1) ^ (1/2)) = ln (sqrt (u-1)) #

# e ^ x = e ^ (ln (sqrt (u-1))) = sqrt (u-1) #

Bây giờ chúng ta có thể cắm lại vào tích phân:

# = 1 / 2int 1 / (e ^ x * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du #

Tiếp theo chúng tôi sẽ giới thiệu một sự thay thế với # z = sqrt (u-1) #. Đạo hàm là:

# (dz) / (du) = 1 / (2sqrt (u-1) #

vì vậy chúng tôi chia cho nó để hòa nhập với # z # (hãy nhớ rằng chia cũng giống như nhân với đối ứng):

# 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) du = 1 / 2int 1 / (sqrt (u-1) * u) * 2sqrt (u-1) dz = #

# = 2 / 2int 1 / u dz #

Bây giờ, một lần nữa chúng ta có biến sai, vì vậy chúng ta cần giải quyết để làm gì # u # tương đương với # z #:

# z = sqrt (u-1) #

# u-1 = z ^ 2 #

# u = z ^ 2 + 1 #

Điều này mang lại:

#int 1 / u dz = int 1 / (1 + z ^ 2) dz #

Đây là đạo hàm phổ biến của # tan ^ -1 (z) #, vì vậy chúng tôi nhận được:

#int 1 / (1 + z ^ 2) dz = tan ^ -1 (z) + C #

Hoàn tác tất cả các thay thế, chúng tôi nhận được:

# tan ^ -1 (z) + C = tan ^ -1 (sqrt (u-1)) + C = #

# = tan ^ -1 (sqrt (1 + e ^ (2x) -1)) + C = tan ^ -1 ((e ^ (2x)) ^ (1/2)) + C = #

# = tan ^ -1 (e ^ x) + C #