Bài kiểm tra phái sinh thứ 2 cho bạn biết gì về hành vi của f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 ở những con số quan trọng này?

Câu trả lời:

Bài kiểm tra phái sinh thứ hai ngụ ý rằng số quan trọng (điểm) # x = 4/7 # đưa ra mức tối thiểu cục bộ cho # f # trong khi không nói gì về bản chất của # f # tại các số quan trọng (điểm) # x = 0,1 #.

Giải trình:

Nếu #f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, sau đó Quy tắc sản phẩm nói

#f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Đặt giá trị này bằng 0 và giải quyết cho # x # ngụ ý rằng # f # có số quan trọng (điểm) tại # x = 0,4 / 7.1 #.

Sử dụng lại Quy tắc sản phẩm sẽ cho:

#f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Hiện nay #f '' (0) = 0 #, #f '' (1) = 0 #và #f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

Do đó, phép thử đạo hàm thứ hai ngụ ý rằng số quan trọng (điểm) # x = 4/7 # đưa ra mức tối thiểu cục bộ cho # f # trong khi không nói gì về bản chất của # f # tại các số quan trọng (điểm) # x = 0,1 #.

Trong thực tế, số quan trọng (điểm) tại # x = 0 # cung cấp tối đa cục bộ cho # f # (và Thử nghiệm phái sinh đầu tiên đủ mạnh để ám chỉ điều này, mặc dù Thử nghiệm phái sinh thứ hai không có thông tin) và số quan trọng (điểm) tại # x = 1 # không cung cấp tối đa cục bộ cũng như tối thiểu cho # f #, nhưng một "điểm yên" (một chiều).