Ý nghĩa của đạo hàm riêng là gì? Cho một ví dụ và giúp tôi hiểu ngắn gọn.

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

Tôi hy vọng nó sẽ giúp.

Đạo hàm riêng một phần thực chất gắn liền với tổng biến thiên.

Giả sử chúng ta có một chức năng #f (x, y) # và chúng tôi muốn biết nó thay đổi bao nhiêu khi chúng tôi giới thiệu một mức tăng cho mỗi biến.

Sửa chữa ý tưởng, thực hiện #f (x, y) = k x y # chúng tôi muốn biết nó là bao nhiêu

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) #

Trong ví dụ chức năng của chúng ta, chúng ta có

#f (x + dx, y + dy) = k (x + dx) (y + dy) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

và sau đó

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

Lựa chọn #dx, nhuộm # tùy ý nhỏ rồi #dx dy khoảng 0 # và sau đó

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

nhưng nói chung

#df (x, y) = f (x + dx, y + dy) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + dy) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1/2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x, y + dy)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + dy) -f (x + dx, y)) / dy dy #

hiện đang làm #dx, nhuộm # nhỏ tùy ý chúng ta có

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) dy) = f_x (x, y) dx + f_y (x, y) dy #

để chúng ta có thể tính tổng biến thiên cho một hàm đã cho, bằng cách tính các đạo hàm riêng #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # và gộp

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Đây, số lượng #f_ (x_i) # được gọi là đạo hàm riêng và cũng có thể được biểu diễn dưới dạng

# (một phần f) / (một phần x_i) #

Trong ví dụ của chúng tôi

#f_x = (một phần f) / (một phần x) = k x # và

#f_y = (một phần f) / (một phần y) = k y #

CHÚ THÍCH

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (dy-> 0)) (f (x + dx, y + dy) -f (x, y)) / dy #

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

Để bổ sung cho câu trả lời của Cesareo ở trên, tôi sẽ cung cấp một định nghĩa giới thiệu ít nghiêm ngặt hơn về mặt toán học.

Đạo hàm một phần, nói một cách lỏng lẻo, cho chúng ta biết hàm đa biến sẽ thay đổi bao nhiêu khi giữ các biến khác không đổi. Ví dụ, giả sử chúng ta được đưa ra

#U (A, t) = A ^ 2t #

Ở đâu # U # là chức năng tiện ích (hạnh phúc) của một sản phẩm cụ thể, # A # là số lượng sản phẩm, và # t # là thời gian sản phẩm được sử dụng cho.

Giả sử công ty sản xuất sản phẩm muốn biết họ có thể sử dụng được bao nhiêu tiện ích hơn nếu họ tăng tuổi thọ của sản phẩm thêm 1 đơn vị. Đạo hàm một phần sẽ cho công ty biết giá trị này.

Đạo hàm riêng thường được biểu thị bằng chữ cái Hy Lạp chữ thường (# một phần #), nhưng có những ký hiệu khác. Chúng tôi sẽ sử dụng # một phần # bây giờ

Nếu chúng tôi đang cố gắng tìm xem mức độ tiện ích của sản phẩm thay đổi theo thời gian tăng 1 đơn vị, thì chúng tôi đang tính toán đạo hàm một phần của tiện ích theo thời gian:

# (partU) / (partt) #

Để tính toán PD, chúng tôi giữ các biến khác không đổi. Trong trường hợp này, chúng tôi điều trị # A ^ 2 #, biến khác, như thể nó là một số. Nhớ lại từ tính toán giới thiệu rằng đạo hàm của một hằng số lần một biến chỉ là hằng số. Đây là ý tưởng tương tự ở đây: đạo hàm (một phần) của # A ^ 2 #, một hằng số, thời gian # t #, biến, chỉ là hằng số:

# (partU) / (partt) = A ^ 2 #

Do đó, tăng 1 đơn vị thời gian sản phẩm được sử dụng tạo ra # A ^ 2 # tiện ích hơn. Nói cách khác, sản phẩm trở nên thỏa đáng hơn nếu có thể được sử dụng thường xuyên hơn.

Có rất nhiều, nhiều hơn nữa để nói về đạo hàm riêng - thực tế, toàn bộ các khóa học đại học và sau đại học có thể được dành cho việc giải quyết một vài loại phương trình liên quan đến đạo hàm riêng - nhưng ý tưởng cơ bản là đạo hàm riêng cho chúng ta biết bao nhiêu thay đổi khi những cái khác vẫn giữ nguyên.