Nếu có thể, hãy tìm một hàm f sao cho grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Câu trả lời:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Giải trình:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Bây giờ mất" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Sau đó, chúng ta có một và cùng một f, thỏa mãn các điều kiện." #

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Câu trả lời:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Giải trình:

Chúng ta có ký hiệu kém trong câu hỏi vì toán tử del (hoặc toán tử gradient) là toán tử vi phân vectơ, Chúng tôi tìm kiếm một chức năng #f (x, y) # như vậy mà:

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Ở đâu #bb (grad) # là toán tử gradient:

# "grad" f = bb (grad) f = (một phần f) / (một phần x) bb (ul hat i) + (một phần f) / (một phần x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

Từ đó chúng tôi yêu cầu:

# f_x = (một phần f) / (một phần x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. A

# f_y = (một phần f) / (một phần y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Nếu chúng ta tích hợp A wrt # x #, trong khi điều trị # y # như một hằng số, chúng ta nhận được:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Nếu chúng ta tích hợp B wrt # y #, trong khi điều trị # x # như một hằng số, chúng ta nhận được:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Ở đâu #u (y) # là một hàm tùy ý của # y # một mình, và #v (x) # là một hàm tùy ý của # x # một mình.

Chúng tôi rõ ràng yêu cầu các chức năng này phải giống hệt nhau, do đó chúng tôi có:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

Và vì vậy chúng tôi chọn #v (x) = x ^ 4 # và #u (y) = y ^ 6 #, cung cấp cho chúng tôi giải pháp của chúng tôi:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Chúng ta có thể dễ dàng xác nhận giải pháp bằng cách tính các đạo hàm riêng:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED