Điểm cực và điểm yên của f (x, y) = x ^ 2y-y ^ 2x là gì?

Câu trả lời:

Điểm yên ở điểm gốc.

Giải trình:

Chúng ta có:

# f (x, y) = x ^ 2y -y ^ 2x #

Và do đó, chúng tôi rút ra các dẫn xuất một phần. Hãy nhớ khi phân biệt một phần rằng chúng ta phân biệt wrt biến trong câu hỏi trong khi coi các biến khác là hằng số. Và như vậy:

# (một phần f) / (một phần x) = 2xy-y ^ 2 # và # (một phần f) / (một phần y) = x ^ 2-2yx #

Tại một điểm cực đoan hoặc yên xe, chúng tôi có:

# (một phần f) / (một phần x) = 0 # và # (một phần f) / (một phần y) = 0 # đồng thời:

tức là một giải pháp đồng thời của:

# 2xy-y ^ 2 = 0 => y (2x-y) = 0 => y = 0, x = 1 / 2y #

# x ^ 2-2yx = 0 => x (x-2y) = 0 => x = 0, x = 1 / 2y #

Do đó, chỉ có một điểm quan trọng tại điểm gốc #(0,0)#. Để thiết lập bản chất của điểm tới hạn, các nhà phân tích của Dòng Taylor đa biến được yêu cầu và các kết quả thử nghiệm sau:

# Delta = (một phần ^ 2 f) / (một phần x ^ 2) (một phần ^ 2 f) / (một phần y ^ 2) - {(một phần ^ 2 f) / (một phần x một phần y)} ^ 2 <0 => # điểm yên ngựa

Vì vậy, chúng tôi tính toán các dẫn xuất một phần thứ hai:

# (một phần ^ 2f) / (một phần x ^ 2) = 2y #;# (một phần ^ 2f) / (một phần y ^ 2) = -2x # và # (một phần ^ 2 f) / (một phần x một phần y) = 2x-2y #

Và khi nào # x = 0, y = 0 # chúng tôi nhận được:

# Delta = (0) (0) - {0-0} ^ 2 = 0 #

Điều đó có nghĩa là kiểm tra yên xe tiêu chuẩn được bao gồm và cần phải phân tích thêm. (Điều này thường bao gồm việc xem xét các dấu hiệu của hàm trên các lát cắt khác nhau hoặc xem xét nghiệm đạo hàm riêng thứ ba nằm ngoài phạm vi của câu hỏi này!).

Chúng ta cũng có thể nhìn vào cốt truyện 3D và rút ra một kết luận nhanh rằng điểm quan trọng dường như tương ứng với điểm yên ngựa: