Cực trị cục bộ, nếu có, của f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x là gì?

Câu trả lời:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # có tối thiểu địa phương cho # x = 1 # và tối đa cục bộ cho # x = 3 #

Giải trình:

Chúng ta có:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

chức năng được xác định trong tất cả # RR # như # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Chúng ta có thể xác định các điểm tới hạn bằng cách tìm vị trí đạo hàm đầu tiên bằng 0:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

vì vậy các điểm quan trọng là:

# x_1 = 1 # và # x_2 = 3 #

Vì mẫu số luôn dương, dấu hiệu của #f '(x) # là đối diện với dấu của tử số # (x ^ 2-4x + 3) #

Bây giờ chúng ta biết rằng một đa thức bậc hai với hệ số dẫn dương là dương bên ngoài khoảng bao gồm giữa gốc và âm trong khoảng giữa các gốc, do đó:

#f '(x) <0 # cho #x trong (-oo, 1) # và #x trong (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # cho #x trong (1,3) #

Chúng ta có rồi #f (x) # đang giảm trong # (- oo, 1) #, tăng trong #(1,3)#và một lần nữa giảm dần trong # (3, + oo) #, vậy đó # x_1 = 1 # phải là tối thiểu địa phương và # x_2 = 3 # phải là một tối đa địa phương.

đồ thị {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1,42, 8,58, -0,08, 4,92}