Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Câu trả lời:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Giải trình:

chúng ta tìm kiếm:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Khi chúng ta đánh giá một giới hạn, chúng ta xem xét hành vi của hàm "gần" điểm, không nhất thiết là hành vi của hàm "tại" điểm đang xét, như vậy #x rarr 0 #, không có lúc nào chúng ta cần xem xét những gì xảy ra tại # x = 0 #Vì vậy, chúng tôi nhận được kết quả tầm thường:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# = lim_ (x rarr 0) 1 #

# = 1 #

Để rõ ràng một biểu đồ của hàm để trực quan hóa hành vi xung quanh # x = 0 #

đồ thị {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Cần phải làm rõ rằng chức năng # y = sin (1 / x) / sin (1 / x) # không xác định tại # x = 0 #

Câu trả lời:

Vui lòng xem bên dưới.

Giải trình:

Các định nghĩa về giới hạn của hàm tôi sử dụng tương đương với:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # nếu và chỉ của mỗi tích cực # epsilon #, có một tích cực # đồng bằng # như vậy cho mọi # x #, nếu # 0 <abs (x-a) <delta # sau đó #abs (f (x) - L) <epsilon #

Vì ý nghĩa của "#abs (f (x) - L) <epsilon #", điều này đòi hỏi điều đó cho tất cả # x # với # 0 <abs (x-a) <delta #, #f (x) # được định nghĩa.

Đó là, cho các yêu cầu # đồng bằng #, tất cả # (a-delta, a + delta) # ngoại trừ có thể # a #, nằm trong miền của # f #.

Tất cả điều này nhận được chúng tôi:

#lim_ (xrarra) f (x) # chỉ tồn tại nếu # f # được định nghĩa trong một số khoảng thời gian mở có chứa # a #, ngoại trừ có lẽ tại # a #.

(# f # phải được xác định trong một số vùng lân cận mở bị xóa # a #)

Vì thế, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) # không tồn tại.

Một ví dụ gần như tầm thường

#f (x) = 1 # cho # x # một thực tế phi lý (không xác định cho hợp lý)

#lim_ (xrarr0) f (x) # không tồn tại.