Giả sử có m Martian & n Earthlings tại một hội nghị hòa bình. Để đảm bảo người sao Hỏa được yên ổn tại hội nghị, chúng ta phải đảm bảo rằng không có hai người sao Hỏa nào ngồi cùng nhau, sao cho giữa hai người sao Hỏa có ít nhất một người Trái đất? (Xem chi tiết)

Câu trả lời:

a) # (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) # (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #

Giải trình:

Ngoài một số lý do bổ sung, chúng tôi sẽ sử dụng ba kỹ thuật phổ biến để đếm.

Đầu tiên, chúng tôi sẽ sử dụng thực tế là nếu có # n # cách để làm một điều và # m # cách để làm việc khác, sau đó giả sử các nhiệm vụ là độc lập (những gì bạn có thể làm cho người này không phụ thuộc vào việc bạn đã làm trong việc khác), có # nm # cách để làm cả hai. Ví dụ: nếu tôi có năm áo sơ mi và ba cặp quần thì có #3*5=15# trang phục tôi có thể làm.

Thứ hai, chúng tôi sẽ sử dụng số lượng cách đặt hàng # k # đối tượng là #k! #. Điều này là do có # k # cách chọn đối tượng đầu tiên, và sau đó # k-1 # cách chọn thứ hai, vân vân và vân vân. Do đó, tổng số cách là #k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

Cuối cùng, chúng tôi sẽ sử dụng số lượng các cách chọn # k # các đối tượng từ một tập hợp # n # đối tượng là # ((N), (k)) = (n!) / (K! (N-k)!) # (phát âm là n chọn k). Một phác thảo về làm thế nào để đến công thức này được đưa ra ở đây.

a) Nếu chúng ta bỏ qua việc chia tách ban đầu, có #m! # cách để ra lệnh cho người sao Hỏa và #n! # cách để đặt hàng Earthlings. Cuối cùng, chúng ta cần xem người sao Hỏa được đặt ở đâu. Vì mỗi sao Hỏa cần được đặt ở một đầu hoặc giữa hai Trái đất, nên có # n + 1 # các vị trí mà họ có thể ngồi (một ở bên trái của mọi Earthling, và sau đó một ở phía bên phải). Như có # m # Sao Hỏa, điều đó có nghĩa là có # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (M! (n + 1-m)!) # cách có thể để đặt chúng. Do đó, tổng số sắp xếp chỗ ngồi có thể là

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) Vấn đề này tương tự như trên. Để làm cho mọi thứ đơn giản hơn, hãy chọn một Earthling và gọi anh ta là chủ tịch. Bởi vì việc xoay vòng tròn không quan trọng như thế nào, thay vì đề cập đến việc sắp xếp chỗ ngồi dựa trên một trật tự tuyệt đối, chúng tôi sẽ xem xét sắp xếp chỗ ngồi dựa trên mối quan hệ của họ với tổng thống.

Cũng như trên, nếu chúng ta bắt đầu từ tổng thống và tiếp tục theo chiều kim đồng hồ quanh vòng tròn, chúng ta có thể đếm số cách đặt hàng của những người tham dự còn lại. Như có # m # Sao Hỏa và # n-1 # Trái đất còn lại, có #m! # cách để ra lệnh cho người sao Hỏa và # (n-1)! # cách để đặt hàng Trái đất còn lại.

Tiếp theo, chúng ta một lần nữa cần định vị người sao Hỏa. Lần này chúng tôi không có thêm một điểm nào ở cuối, do đó chỉ có # n # địa điểm họ có thể ngồi. Sau đó, có # ((N), (m)) = (n!) / (M! (N-m)!) # cách để đặt chúng. Do đó, tổng số sắp xếp chỗ ngồi có thể là

# (n-1)! m! (n!) / (m! (n-m)!) = (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #