Đặt f (x) = (x + 2) / (x + 3). Tìm phương trình của (các) đường tiếp tuyến đi qua một điểm (0,6)? Phác thảo giải pháp?

Câu trả lời:

Tiếp tuyến là # 25x-9y + 54 = 0 # và # y = x + 6 #

Giải trình:

Đặt độ dốc của tiếp tuyến là # m #. Phương trình của tiếp tuyến là # y-6 = mx # hoặc là # y = mx + 6 #

Bây giờ chúng ta hãy xem điểm giao nhau của đường cong tiếp tuyến và đã cho này # y = (x + 2) / (x + 3) #. Để đặt này # y = mx + 6 # trong này chúng ta nhận được

# mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) # hoặc là # (mx + 6) (x + 3) = x + 2 #

I E. # mx ^ 2 + 3x + 6x + 18 = x + 2 #

hoặc là # mx ^ 2 + (3 m + 5) x + 16 = 0 #

Điều này sẽ cung cấp hai giá trị của # x # tức là hai điểm giao nhau, nhưng tiếp tuyến chỉ cắt đường cong tại một điểm. Do đó nếu # y = mx + 6 # là một tiếp tuyến, chúng ta chỉ nên có một gốc cho phương trình bậc hai, điều này có thể xảy ra nếu phân biệt đối xử là #0# I E.

# (3 m + 5) ^ 2-4 * m * 16 = 0 #

hoặc là # 9m ^ 2 + 30m + 25-64m = 0 #

hoặc là # 9m ^ 2-34m + 25 = 0 #

I E. # m = (34 + -sqrt (34 ^ 2-900)) / 18 #

= # (34 + -sqrt256) / 18 = (34 + -16) / 18 #

I E. #25/9# hoặc là #1#

và do đó tiếp tuyến là # y = 25 / 9x + 6 # I E. # 25x-9y + 54 = 0 #

và # y = x + 6 #

đồ thị {(25x-9y + 54) (x-y + 6) (y- (x + 2) / (x + 3)) = 0 -12.58, 7.42, -3.16, 6.84}