Điểm cực và điểm yên của f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) là gì?

Câu trả lời:

# {: ("Điểm quan trọng", "Kết luận"), ((0,0,0), "yên"):} #

Giải trình:

Lý thuyết để xác định cực trị của # z = f (x, y) # Là:

1. Giải đồng thời các phương trình tới hạn

   # (một phần f) / (một phần x) = (một phần f) / (một phần y) = 0 # (I E # f_x = f_y = 0 #)

2. Đánh giá #f_ (x x), f_ (yy) và f_ (xy) (= f_ (yx)) # tại mỗi điểm quan trọng này Do đó đánh giá # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # tại mỗi điểm này
3. Xác định bản chất của extrema;

   # {: (Delta> 0, "Có tối thiểu nếu" f_ (xx) <0), (, "và tối đa nếu" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "có điểm yên ngựa"), (Delta = 0, "Cần phân tích thêm"):} #

Vì vậy chúng tôi có:

# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #

# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #

Hãy để chúng tôi tìm các dẫn xuất một phần đầu tiên:

# (một phần f) / (một phần x) = ye ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #

# = ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) #

# (một phần f) / (một phần y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #

# = 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #

Vì vậy, các phương trình quan trọng của chúng tôi là:

# ye ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #

Từ các phương trình này, chúng ta có:

# y = 0 # hoặc là # e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #

# x = 0 # hoặc là # e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #

Và giải pháp đồng thời duy nhất là # x = y = 0 #

Và vì vậy chúng tôi có một điểm quan trọng tại điểm gốc

Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy xem xét các đạo hàm riêng thứ hai để chúng ta có thể xác định bản chất của điểm tới hạn (tôi sẽ chỉ trích dẫn các kết quả này):

# (một phần ^ 2f) / (một phần x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #

# (một phần ^ 2f) / (một phần y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #

# (một phần ^ 2f) / (một phần x một phần y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (một phần ^ 2f) / (một phần y một phần x)) #

Và chúng ta phải tính toán:

# Delta = (một phần ^ 2f) / (một phần x ^ 2) (một phần ^ 2f) / (một phần y ^ 2) - ((một phần ^ 2f) / (một phần x một phần y)) ^ 2 #

tại mỗi điểm tới hạn Các giá trị đạo hàm riêng thứ hai, # Delta #và kết luận như sau:

# {: ("Điểm quan trọng", (một phần ^ 2f) / (một phần x ^ 2), (một phần ^ 2f) / (một phần y ^ 2), (một phần ^ 2f) / (một phần x một phần y), Delta, "Kết luận"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "bao gồm"):} #

Vì vậy, sau tất cả những công việc đó, thật đáng thất vọng khi có được kết quả bao gồm, nhưng nếu chúng ta kiểm tra hành vi xung quanh điểm quan trọng, chúng ta có thể dễ dàng xác định rằng đó là điểm yên ngựa.

Chúng ta có thể thấy những điểm quan trọng này nếu chúng ta nhìn vào một cốt truyện 3D: