Xét 3 vòng tròn bán kính r bằng nhau trong một vòng tròn bán kính R cho trước để chạm vào hai vòng tròn còn lại và vòng tròn đã cho như trong hình, thì diện tích của vùng bóng mờ bằng?

Chúng ta có thể tạo thành một biểu thức cho khu vực của vùng bóng mờ như vậy:

#A_ "bóng mờ" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "trung tâm" #

Ở đâu #A_ "trung tâm" # là diện tích của phần nhỏ giữa ba vòng tròn nhỏ hơn.

Để tìm diện tích này, chúng ta có thể vẽ một hình tam giác bằng cách kết nối tâm của ba vòng tròn trắng nhỏ hơn. Vì mỗi vòng tròn có bán kính là # r #, độ dài mỗi cạnh của tam giác là # 2r # và tam giác đều cạnh nhau nên có các góc # 60 ^ o # mỗi.

Do đó, chúng ta có thể nói rằng góc của khu vực trung tâm là diện tích của tam giác này trừ ba phần của hình tròn. Chiều cao của tam giác đơn giản là #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, vì vậy diện tích của tam giác là # 1/2 * cơ sở * chiều cao = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Diện tích của ba phân đoạn hình tròn trong tam giác này về cơ bản là cùng một khu vực với một nửa của một trong các hình tròn (do có các góc của # 60 ^ o # mỗi, hoặc #1/6# một vòng tròn, vì vậy chúng ta có thể suy ra tổng diện tích của các khu vực này là # 1/2 cướp biển ^ 2 #.

Cuối cùng, chúng ta có thể tìm ra khu vực của khu vực trung tâm #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Do đó, quay trở lại biểu hiện ban đầu của chúng tôi, khu vực của khu vực bóng mờ là

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Câu trả lời:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Giải trình:

Hãy cho các vòng tròn màu trắng bán kính là # r = 1 #. Các tâm tạo thành một tam giác đều cạnh #2#. Mỗi trung vị / độ cao là #sqrt {3} # vì vậy khoảng cách từ một đỉnh đến tâm là # 2/3 sqrt {3} #.

Trọng tâm là tâm của vòng tròn lớn, do đó, khoảng cách giữa tâm của vòng tròn lớn và tâm của vòng tròn nhỏ. Chúng tôi thêm một bán kính nhỏ của # r = 1 # để có được

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Diện tích chúng ta tìm kiếm là diện tích của hình tròn lớn trừ tam giác đều và phần còn lại #5/6# của từng vòng tròn nhỏ.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Chúng tôi quy mô # r ^ 2 # nói chung.