Hàm sóng là gì và các yêu cầu để nó hoạt động tốt, tức là để nó thể hiện đúng thực tế vật lý?

Câu trả lời:

Hàm sóng là một hàm có giá trị phức tạp trong đó biên độ (giá trị tuyệt đối) đưa ra phân phối xác suất. Tuy nhiên, nó không hoạt động giống như một làn sóng thông thường.

Giải trình:

Trong cơ học lượng tử, chúng ta nói về trạng thái của một hệ thống. Một trong những ví dụ đơn giản nhất là một hạt có thể ở trạng thái quay lên hoặc xuống, ví dụ như một electron. Khi chúng ta đo độ quay của một hệ thống, chúng ta sẽ đo nó lên hoặc xuống. Một trạng thái mà chúng tôi chắc chắn về kết quả của phép đo, chúng tôi gọi là trạng thái riêng (trạng thái lên # uarr # và một trạng thái xuống # darr #).

Cũng có những trạng thái mà chúng tôi không chắc chắn về kết quả của phép đo trước khi chúng tôi đo lường. Những trạng thái này chúng ta gọi là chồng chất và chúng ta có thể viết chúng thành # a * uarr + b * darr #. Ở đây chúng tôi có # | a | ^ 2 # xác suất đo # uarr #và # | b | ^ 2 # xác suất đo # darr #. Điều này có nghĩa là tất nhiên # | a | ^ 2 + | b | ^ 2 = 1 #. Chúng tôi cho phép # a, b # là số phức, lý do cho điều này không rõ ràng ngay từ ví dụ này, nhưng trong bối cảnh của hàm sóng, nó sẽ rõ ràng hơn. Điểm mấu chốt là có nhiều trạng thái hơn một trạng thái có cùng xác suất để đo các vòng quay.

Bây giờ chúng ta có thể thử gán một hàm cho trạng thái quay này. Vì chỉ có hai kết quả của phép đo spin, nên chúng ta có một hàm chỉ có hai đầu vào khả dĩ. Nếu chúng ta gọi hàm # psi # (đây là một biểu tượng rất thông thường được sử dụng cho wavefuntion), chúng tôi đặt #psi (uarr) = a # và #psi (darr) = b #.

Bây giờ chúng ta chuyển sang hàm sóng. Một khía cạnh của hạt tất nhiên là vị trí của nó. Giống như trong trường hợp quay, chúng ta có thể đo các giá trị riêng biệt cho vị trí và chúng ta có thể có các trạng thái trong đó kết quả của phép đo không được cố định trước. Vì chúng ta có số lượng vị trí vô hạn không thể đếm được, nơi có thể có hạt, viết ra trạng thái này là # a * "ở đây" + b * "có" # sẽ không làm. Tuy nhiên, ý tưởng về chức năng mà chúng ta đã sử dụng ở trên không. Vì vậy, đối với bất kỳ vị trí # x #, chúng tôi có một giá trị phức tạp #psi (x) #. Hàm mật độ xác suất của hạt hiện được đưa ra bởi # | psi (x) | ^ 2 #.

Nói một cách công bằng, về mặt lịch sử, ý tưởng về hàm sóng cũ hơn so với spin, nhưng tôi nghĩ việc hiểu ý tưởng về spin ở một mức độ nhất định sẽ giúp hiểu được về hàm sóng.

Bây giờ trước hết, tại sao phức hợp hàm sóng có giá trị? Lý do đầu tiên có thể được tìm thấy trong ý tưởng về sự can thiệp. Hàm sóng của hạt có thể can thiệp vào chính nó. Sự can thiệp này có liên quan đến việc thêm các hàm sóng, nếu các hàm sóng cho cùng một giá trị tuyệt đối tại một điểm nhất định, thì xác suất đo một hạt xung quanh điểm đó là tương tự nhau. Tuy nhiên, các giá trị hàm có thể khác nhau, nếu chúng giống nhau, thêm chúng lên sẽ tạo ra biên độ hoặc mật độ xác suất 4 (#|2|^2#) lần lớn hơn (giao thoa tăng cường) và nếu chúng khác nhau bởi một dấu hiệu thì chúng phủ định lẫn nhau (giao thoa triệt tiêu). Tuy nhiên, cũng có thể khác nhau bởi một yếu tố #tôi#, có nghĩa là mật độ xác suất trở thành #2# lần lớn hơn tại thời điểm đó. Chúng tôi biết rằng tất cả các can nhiễu này có thể xảy ra. Vì vậy, điểm này hướng tới một hàm sóng có giá trị phức tạp như được mô tả trước đó.

Lý do thứ hai có thể được tìm thấy trong phương trình Schrödinger. Ban đầu người ta nghĩ rằng các hàm sóng này hoạt động giống như sóng cổ điển. Tuy nhiên, khi Schrödinger cố gắng mô tả hành vi của các sóng này, hoặc ít nhất là sự tiến hóa của chúng theo thời gian, ông thấy rằng phương trình chi phối các sóng cổ điển là không phù hợp. Để nó hoạt động, ông đã phải đưa một số phức vào phương trình, dẫn đến kết luận rằng chính hàm cũng phải phức tạp và thứ tự của các đạo hàm xuất hiện trong phương trình khác với phương trình sóng cổ điển.

Sự khác biệt này trong các phương trình cũng trả lời câu hỏi thứ hai của bạn. Do sự phát triển của hàm sóng khác rất nhiều so với sóng cổ điển, chúng ta không thể sử dụng các phương pháp tương tự mà chúng ta sử dụng trong vật lý sóng cổ điển. Tất nhiên có những lập luận hình học mà bạn có thể sử dụng, nhưng nó sẽ không đủ để mô tả tất cả các hiện tượng trong vật lý lượng tử. Bên cạnh đó, mặc dù hàm sóng cung cấp nhiều thông tin về trạng thái của hạt, nó không cho bạn biết gì về độ xoáy của nó, vì spin và vị trí quan sát không liên quan gì đến nhau.

Có lẽ tôi đang hiểu sai ý của bạn về bản chất hình học. Có lẽ bạn có thể đưa ra một ví dụ về những gì bạn có ý nghĩa. Có lẽ sau đó tôi có thể giúp bạn hơn nữa.

Các hàm sóng đại diện cho trạng thái của một hệ cơ học lượng tử như nguyên tử hoặc phân tử.

Nó có thể được đại diện là một trong hai # psi #, các thời gian độc lập hàm sóng, hoặc # Psi #, các phụ thuộc thời gian hàm sóng.

Vì làn sóng rõ ràng là chức năng đại diện cho một hệ thống hoạt động như một làn sóng (không phải ngẫu nhiên mà nó được gọi là làn sóng chức năng!), chúng ta thường mong đợi một không hạn chế hàm sóng không có ranh giới. Hãy xem xét thực tế rằng # sinx # và # cosx #, hai hàm rõ ràng là sóng, có miền # (- oo, oo) #.

VÍ DỤ: CHỨC NĂNG SÓNG CHO CÁC TỔ CHỨC

Tuy nhiên, hãy lấy quỹ đạo làm ví dụ. Phải có một bộ điều kiện biên đối với quỹ đạo, vì rõ ràng quỹ đạo không lớn vô hạn.

Hàm sóng có thể mô tả tổ hợp tuyến tính của quỹ đạo nguyên tử để hình thành quỹ đạo phân tử:

#color (màu xanh) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = color (màu xanh) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) + …) #

Ở đâu # c_i # là Hệ số giãn nở cho thấy sự đóng góp của mỗi quỹ đạo nguyên tử cho quỹ đạo phân tử cụ thể trong câu hỏi, và # phi_i ^ "AO" # là chức năng sóng thử nghiệm / thử nghiệm cho mỗi quỹ đạo nguyên tử.

Vì hàm sóng phải có khả năng đại diện cho quỹ đạo, nên nó phải có bán kính dương (#r> 0 #) và hàm sóng phải là Độc thân định giá, đóng cửa , liên tiếp , trực giao cho tất cả các hàm sóng liên quan và bình thường hóa .

Nói cách khác, nó phải vượt qua bài kiểm tra đường thẳng đứng, có diện tích hữu hạn dưới đường cong, không có bước nhảy / không liên tục / tiệm cận / ngắt và thỏa mãn hai phương trình sau:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(tích phân của hàm sóng và liên hợp phức tạp của nó là #0# nếu các hàm sóng khác nhau)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(tích phân của hàm sóng và liên hợp phức của nó được chuẩn hóa sao cho nó bằng #1# nếu các hàm sóng giống nhau bên cạnh dấu hiệu của # pmi #)

Một ví dụ phương trình cho hàm sóng trong tọa độ hình cầu cho nguyên tử hydro là:

#color (màu xanh) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = color (màu xanh) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Để suy nghĩ, tôi thực sự đã dành thời gian để bình thường hóa điều này. Tôi thậm chí đã dành thời gian để kiểm tra tính trực giao với hai người kia # 2p # hàm sóng.: P

Trong trường hợp, đây là phần phụ lục của những gì tôi đã liên kết ở trên trong Scratchpads.

#' '#

Bình thường hóa

Các # 2p_z # hàm sóng quỹ đạo nguyên tử là:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Là # 2p_z # hàm sóng có thật không bình thường hóa? HÃY CÙNG TÌM HIỂU!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (màu xanh lá cây) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Bây giờ, chỉ kiểm tra phần xuyên tâm, đó là phần điên rồ … hãy để sự tích hợp tăng gấp bốn lần bởi các phần bắt đầu!

ĐÁNH GIÁ CÁC THÀNH PHẦN TUYỆT VỜI CỦA CHỨC NĂNG SÓNG

Phần 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Để cho:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Phần 2

Để cho:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Phần 3

Để cho:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Phần 4

Để cho:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

MỞ RỘNG / ĐƠN GIẢN

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

ĐÁNH GIÁ-HÌNH THỨC S READN SÀNG

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Nửa đầu hủy bỏ được #0#:

# = hủy ({- e ^ (- (Sở thú) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Nửa thứ hai đơn giản hóa xuống được # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = hủy (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) hủy ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + hủy (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + hủy (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + hủy (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Bây giờ, chúng ta hãy kiểm tra lại toàn bộ hàm sóng …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (hủy (32) hủy (pi)) hủy ((Z / a_0) ^ 5) (hủy (16) hủy ((a_0 / Z) ^ 5)) (hủy (2) hủy (pi)) ngăn xếp (?) (=) 1 #

# màu (màu xanh) (1 = 1) #

VÂNG! MỘT CÁCH THIẾT BỊ MỘT! Ý tôi là…

Hàm sóng thực sự được chuẩn hóa!: D

Chứng minh tính trực giao lẫn nhau cho các hàm sóng 2p

Hãy để chúng tôi chọn các hàm sóng sau:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Để hiển thị chúng là trực giao, chúng ta cần hiển thị ít nhất một trong số chúng:

#int _ ("tất cả không gian") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

Và từ cảm ứng, chúng ta có thể ngụ ý phần còn lại vì các thành phần xuyên tâm là giống hệt nhau. Nói cách khác:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (xanh) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Phần xuyên tâm hóa ra là # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Vì vậy, hãy để chúng tôi đánh giá các phần góc.

Các # theta # phần:

#color (xanh) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Để cho:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = màu (xanh) (0) #

Và bây giờ # phi # phần:

# màu (xanh) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - tội lỗi (0) #

Để cho:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = màu (xanh) (0) #

Do đó, chúng tôi có tổng thể:

#color (màu xanh) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = hủy (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = màu (màu xanh) (0) #

Kể từ khi

#int _ ("tất cả không gian") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

các # 2p_z # và # 2p_x # quỹ đạo nguyên tử là trực giao.

Thực sự, sự khác biệt chính với việc sử dụng # 2p_y # phương trình là bạn thay vì nhận được:

#color (màu xanh lá cây) ("Hằng số" int_ (0) ^ (oo) "Công cụ tương tự" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Và như vậy:

#color (màu xanh) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = màu (xanh) (0) #

Từ nhân #0# bởi các tích phân khác, do đó toàn bộ tích phân biến mất và:

#int _ ("tất cả không gian") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

do đó, # 2p_x # và # 2p_y # quỹ đạo nguyên tử là trực giao.

Cuối cùng, cho # 2p_y # so với # 2p_z #:

#color (màu xanh lá cây) ("Hằng số" int_ (0) ^ (oo) "Tương tự" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Chúng ta biết # theta # không thể thiếu từ trước:

#color (màu xanh) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = màu (xanh dương) (0) #

Và do đó, toàn bộ tích phân biến mất một lần nữa, và thực sự # 2p_y # và # 2p_z # quỹ đạo là trực giao là tốt!