Một chuỗi dài 20 cm được cắt thành hai mảnh. Một trong những mảnh được sử dụng để tạo thành một chu vi của hình vuông?

Câu trả lời:

# "Tổng diện tích tối thiểu = 10.175 cm²." #

# "Tổng diện tích tối đa = 25 cm²." #

Giải trình:

# "Đặt tên x chiều dài của mảnh để tạo thành hình vuông." #

# "Sau đó, diện tích của hình vuông là" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Chu vi của tam giác là" 20-x "." #

# "Nếu y là một trong các cạnh bằng của tam giác, thì ta có" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => diện tích = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2) #

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Tổng diện tích =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# = x ^ 2/16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "Đây là một parabole và tối thiểu cho một parabole" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "là" x = -b / (2 * a) ", nếu a> 0." #

# "Tối đa là" x-> oo ", nếu a> 0." #

# "Vậy mức tối thiểu là" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Tổng diện tích =" 10.175 "cm²." #

# "Tối đa là x = 0 hoặc x = 20." #

# "Chúng tôi kiểm tra khu vực:" #

# "Khi" x = 0 => "area =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Khi" x = 20 => "diện tích =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Vậy tổng diện tích tối đa là 25 cm²." #

Câu trả lời:

Diện tích tối thiểu là #10.1756# và tối đa là #25#

Giải trình:

Chu vi của một tam giác cân cạnh phải # a # Là # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # và khu vực của nó là # a ^ 2/2 #,

Hãy để một mảnh # x # cm. từ đó chúng ta tạo thành một tam giác cân vuông góc phải. Rõ ràng là cạnh của tam giác cân góc phải sẽ là # x / (2 + sqrt2) # và diện tích của nó sẽ là

# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Chu vi của phần khác của chuỗi tạo thành một hình vuông là # (20-x) # và như cạnh của hình vuông là # (20-x) / 4 # khu vực của nó là # (20-x) ^ 2/16 # và tổng diện tích # T # của hai là

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Quan sát rằng # 3-2sqrt2> 0 #, do đó hệ số của # x ^ 2 # là tích cực và do đó chúng ta sẽ có một cực tiểu và chúng ta có thể viết # T # như

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

Như # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # luôn luôn tích cực, chúng tôi có giá trị tối thiểu là # T # khi nào # x = 11.8596 #.

Quan sát rằng về mặt lý thuyết không có cực đại cho hàm, nhưng là giá trị của # x # nằm giữa #0,20#, và khi # x = 0 #, chúng ta có # T = 0.1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

và khi # x = 20 # khi nào # T = 0.1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

và do đó cực đại là #25#

đồ thị {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11,92, 28,08, -0,96, 19,04}