Điểm cực và điểm yên của f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) là gì?

Câu trả lời:

Giải trình:

Chúng ta có:

# f (x, y) = (x + y + 1) ^ 2 / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) #

Bước 2 - Xác định các điểm quan trọng

Một điểm quan trọng xảy ra tại một giải pháp đồng thời của

# f_x = f_y = 0 iff (một phần f) / (một phần x) = (một phần f) / (một phần y) = 0 #

tức là khi:

# f_x = {2 (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1)} / (x ^ 2 + y ^ 2 + 1) ^ 2 = 0 #

# => (x + y + 1) (y ^ 2-xy-x + 1) = 0 # ….. A

Giải quyết đồng thời A và B, chúng tôi có được một giải pháp duy nhất:

# x = y = 1 #

Vì vậy, chúng tôi có thể kết luận rằng có một điểm quan trọng:

# (1,1) #

Bước 3 - Phân loại các điểm quan trọng

Để phân loại các điểm tới hạn, chúng tôi thực hiện một bài kiểm tra tương tự như một phép tính biến bằng cách sử dụng các đạo hàm riêng thứ hai và Ma trận Hessian.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((một phần ^ 2 f) / (một phần x ^ 2), (một phần ^ 2 f) / (một phần x một phần y)), ((một phần ^ 2 f) / (một phần y một phần x), (một phần ^ 2 f) / (một phần y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Sau đó tùy thuộc vào giá trị của # Delta #:

# {: (Delta> 0, "Có tối đa nếu" f_ (xx) <0), (, "và tối thiểu nếu" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "có điểm yên ngựa"), (Delta = 0, "Cần phân tích thêm"):} #

Sử dụng macro excel tùy chỉnh các giá trị hàm cùng với các giá trị đạo hàm riêng được tính như sau: