Cực trị cục bộ, nếu có, của f (x) = (lnx) ^ 2 / x là gì?

Câu trả lời:

Có tối thiểu địa phương là #0# tại #1#. (Đó cũng là toàn cầu.) Và tối đa cục bộ là # 4 / e ^ 2 # tại # e ^ 2 #.

Giải trình:

Dành cho #f (x) = (lnx) ^ 2 / x #, lưu ý đầu tiên rằng tên miền của # f # là số thực dương, # (0, oo) #.

Sau đó tìm

#f '(x) = (2 (lnx) (1 / x) * x - (lnx) ^ 2 1) / x ^ 2 #

# = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2 #.

# f '# không xác định tại # x = 0 # vốn không thuộc miền # f #, vì vậy nó không phải là một con số quan trọng đối với # f #.

#f '(x) = 0 # Ở đâu

# lnx = 0 # # # hoặc là # # # 2-lnx = 0 #

# x = 1 # # # hoặc là # # # x = e ^ 2 #

Kiểm tra các khoảng #(0,1)#, # (1, e ^ 2) #và # (e ^ 2, oo) #.

(Đối với số kiểm tra, tôi đề nghị # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # -- hồi tưởng # 1 = e ^ 0 # và # e ^ x # đang tăng.)

Chúng tôi thấy rằng # f '# thay đổi từ tiêu cực sang tích cực khi chúng ta vượt qua #1#, vì thế #f (1) = 0 # là tối thiểu địa phương,

và đó # f '# thay đổi từ tích cực sang tiêu cực khi chúng ta vượt qua # e ^ 2 #, vì thế #f (e ^ 2) = 4 / e ^ 2 # là một tối đa địa phương.