Điểm cực trị cục bộ của f (x) = xlnx-xe ^ x là gì?

Câu trả lời:

Chức năng này không có cực trị cục bộ.

Giải trình:

#f (x) = xlnx-xe ^ x ngụ ý #

#g (x) Equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Dành cho # x # trở thành một cực địa phương, #g (x) # phải bằng không. Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra rằng điều này không xảy ra đối với bất kỳ giá trị thực nào của # x #.

Lưu ý rằng

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

Như vậy #g ^ '(x) # sẽ biến mất nếu

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Đây là một phương trình siêu việt có thể được giải bằng số. Kể từ khi #g ^ '(0) = + oo # và #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, gốc nằm giữa 0 và 1. Và kể từ #g ^ {''} (0) <0 # cho tất cả tích cực # x #, đây là gốc duy nhất và nó tương ứng với mức tối đa cho #g (x) #

Nó khá dễ dàng để giải phương trình số, và điều này cho thấy rằng #g (x) # có một tối đa tại # x = 0,3152 # và giá trị tối đa là #g (0,3152) = -1,957 #. Vì giá trị tối đa của #g (x) # là âm, không có giá trị của # x # tại đó #g (x) # tan biến.

Nó có thể được hướng dẫn để xem xét đồ họa này:

đồ thị {x log (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

Như bạn có thể thấy từ biểu đồ trên, hàm #f (x) # thực sự có tối đa tại # x = 0 # - nhưng đây không phải là tối đa cục bộ. Biểu đồ dưới đây cho thấy rằng #g (x) tương đương f ^ '(x) # không bao giờ lấy giá trị bằng không.

đồ thị {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105, 1, -3, 0.075}