Điểm cực và điểm yên của f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2) là gì?

Câu trả lời:

#(0,0)# là một điểm yên ngựa

# (1 / sqrt 2.1 / sqrt 2) # và # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # là cực đại địa phương

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # và # (- 1 / sqrt 2.1 / sqrt 2) # là cực tiểu địa phương

# (0, chiều 1 / sqrt 2) # và # (chiều 1 / sqrt 2.0) # là những điểm uốn.

Giải trình:

Đối với một chức năng chung #F (x, y) # với một điểm dừng tại # (x_0, y_0) # chúng tôi có bản mở rộng Taylor

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Đối với chức năng

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

chúng ta có

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Dễ dàng thấy rằng cả hai dẫn xuất đầu tiên đều biến mất ở các ponrs sau

• #(0,0)#
• # (0, chiều 1 / sqrt2) #
• # (chiều 1 / sqrt2, 0) #
• # (chiều 1 / sqrt2, chiều 1 / sqrt2) #

Để kiểm tra bản chất của các điểm dừng này, chúng ta cần xem xét hành vi của các đạo hàm thứ hai ở đó.

Hiện nay

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

và tương tự

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

và

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Vì vậy đối với #(0,0)# chúng ta có # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # và # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - vì thế

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Nếu bạn tiếp cận #(0,0)# dọc theo dòng # x = y #, cái này trở thành

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

và như vậy #(0,0)# rõ ràng là tối thiểu nếu bạn tiếp cận từ hướng này. Mặt khác, nếu bạn tiếp cận dọc theo dòng # x = -y # chúng ta có

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

và như vậy #(0,0)# là tối đa theo hướng này, Như vậy #(0,0)# là một điểm yên ngựa.

Dành cho # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # dễ dàng nhận thấy rằng

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # và # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

có nghĩa là

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2.1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Vì vậy, chức năng giảm bất cứ cách nào bạn di chuyển từ # (1 / sqrt 2.1 / sqrt 2) # và đây là một tối đa địa phương. Dễ dàng thấy rằng điều tương tự cũng xảy ra # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (điều này đáng lẽ phải rõ ràng, vì hàm này vẫn giữ nguyên # (x, y) đến (-x, -y) #!

Một lần nữa, cho cả hai # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # và # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # chúng ta có

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # và # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Vì vậy, cả hai điểm này là cực tiểu địa phương.

Bốn điểm # (0, chiều 1 / sqrt2) # và # (chiều 1 / sqrt2, 0) # có nhiều vấn đề hơn - vì tất cả các dẫn xuất bậc hai đều biến mất tại những điểm này. Bây giờ chúng ta phải nhìn vào các dẫn xuất bậc cao hơn. May mắn thay, chúng tôi không thực sự cần phải làm việc chăm chỉ cho việc này - sản lượng phái sinh tiếp theo

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

mà không phải là không cho cả hai # (0, chiều 1 / sqrt2) # và # (chiều 1 / sqrt2, 0) #. Bây giờ, điều này có nghĩa là, ví dụ

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

cho thấy điều này sẽ tăng từ # f (0,1 / sqrt 2) # theo một hướng, và giảm từ nó theo hướng khác. Như vậy # (0,1 / sqrt2) # là một điểm ** của viêm. Lập luận tương tự làm việc cho ba điểm khác.