Tỉ số của hai số thực dương là p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2) sau đó tìm tỷ số AM và GM của chúng?

Câu trả lời:

# p / q #.

Giải trình:

Hãy để số nos. được #x và y, "ở đâu, x, y" trong RR ^ + #.

Bởi những gì được đưa ra, #x: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)):(p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, "nói" #.

#:. x = lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) và y = lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

Bây giờ, LÀ # A # của # x, y # Là, # A = (x + y) / 2 = lambdap #và, Biến đổi gen # G = sqrt (xy) = sqrt lambda ^ 2 {p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)} = lambdaq #.

Thông suốt, # "tỷ lệ mong muốn" = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q #.

Câu trả lời:

# p / q #

Giải trình:

Tôi sẽ sử dụng ký hiệu tương tự như trong câu trả lời này. Trong thực tế không có sự cần thiết thực sự của giải pháp này (vì vấn đề đã được giải quyết khá độc đáo) - ngoại trừ việc nó minh họa việc sử dụng một kỹ thuật tôi rất yêu thích!

Theo vấn đề

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p - sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

Sử dụng componendo và cổ tức (đây là kỹ thuật yêu thích tôi đã nói ở trên) chúng tôi nhận được

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) ngụ ý #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) ngụ ý #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2) = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) ngụ ý #

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 ngụ ý #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• đó là tỷ lệ AM: GM cần thiết.