Chứng minh rằng số sqrt (1 + sqrt (2 + ... + sqrt (n))) không hợp lý cho bất kỳ số tự nhiên n lớn hơn 1?

Câu trả lời:

Xem giải thích …

Giải trình:

Giả sử:

#sqrt (1 + sqrt (2 + … + sqrt (n))) # là hợp lý

Sau đó, hình vuông của nó phải hợp lý, tức là:

# 1 + sqrt (2 + … + sqrt (n)) #

và do đó là:

#sqrt (2 + sqrt (3 + … + sqrt (n))) #

Chúng ta có thể lặp lại bình phương và trừ để thấy rằng những điều sau đây phải hợp lý:

# {(sqrt (n-1 + sqrt (n))), (sqrt (n)):} #

Vì thế # n = k ^ 2 # cho một số nguyên dương #k> 1 # và:

#sqrt (n-1 + sqrt (n)) = sqrt (k ^ 2 + k-1) #

Lưu ý rằng:

# k ^ 2 <k ^ 2 + k-1 <k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2 #

Vì thế # k ^ 2 + k-1 # không phải là bình phương của một số nguyên và #sqrt (k ^ 2 + k-1) # là phi lý, mâu thuẫn với khẳng định của chúng tôi rằng #sqrt (n-1 + sqrt (n)) # là hợp lý.

Câu trả lời:

Xem bên dưới.

Giải trình:

Giả định

#sqrt (1 + sqrt (2 + cdots + sqrt (n))) = p / q # với # p / q # chúng tôi không có khả năng rút gọn

#sqrtn = (cdots (((p / q) ^ 2-1) ^ 2-2) ^ 2 cdots - (n-1)) = P / Q #

đó là một điều vô lý, bởi vì theo kết quả này, bất kỳ căn bậc hai nào của một số nguyên dương là hợp lý.