Trong các khoảng thời gian, phương trình sau đây được lõm lên, lõm xuống và điểm uốn của nó là (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Câu trả lời:

• nếu # 0 <x <e ^ (- 15/56) # sau đó # f # Là lõm xuống;
• nếu #x> e ^ (- 15/56) # sau đó # f # Là lõm lên;
• # x = e ^ (- 15/56) # là một (giảm) điểm uốn

Giải trình:

Để phân tích độ lõm và điểm uốn của hàm hai lần khác nhau # f #, chúng ta có thể nghiên cứu tính tích cực của đạo hàm thứ hai. Trong thực tế, nếu # x_0 # là một điểm trong miền # f #, sau đó:

• nếu #f '' (x_0)> 0 #, sau đó # f # Là lõm lên trong một khu phố của # x_0 #;
• nếu #f '' (x_0) <0 #, sau đó # f # Là lõm xuống trong một khu phố của # x_0 #;
• nếu #f '' (x_0) = 0 # và dấu hiệu của #f '' # trên một khu vực bên phải đủ nhỏ của # x_0 # trái ngược với dấu hiệu của #f '' # trên một khu phố bên trái đủ nhỏ # x_0 #, sau đó # x = x_0 # được gọi là một điểm uốn của # f #.

Trong trường hợp cụ thể của #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, chúng tôi có một chức năng mà miền của nó phải được giới hạn trong các thực tế tích cực #RR ^ + #.

Đạo hàm đầu tiên là

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

Đạo hàm thứ hai là

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56ln (x) +15 #

Hãy nghiên cứu tính tích cực của #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Vì vậy, xem xét rằng tên miền là #RR ^ + #, chúng tôi hiểu điều đó

• nếu # 0 <x <e ^ (- 15/56) # sau đó #f '' (x) <0 # và # f # Là lõm xuống;
• nếu #x> e ^ (- 15/56) # sau đó #f '' (x)> 0 # và # f # Là lõm lên;
• nếu # x = e ^ (- 15/56) # sau đó #f '' (x) = 0 #. Xem xét rằng ở bên trái của điểm này #f '' # là tiêu cực và bên phải nó là tích cực, chúng tôi kết luận rằng # x = e ^ (- 15/56) # là một (giảm) điểm uốn