Giả sử có một cơ sở cho và một số kích thước nhất định cho không gian con W trong RR ^ 4. Tại sao số lượng kích thước 2?

Câu trả lời:

4 chiều trừ 2 ràng buộc = 2 chiều

Giải trình:

Các tọa độ thứ 3 và thứ 4 là các tọa độ độc lập duy nhất. Hai cái đầu có thể được thể hiện dưới dạng hai cái cuối.

Câu trả lời:

Kích thước của một không gian con được quyết định bởi các cơ sở của nó, chứ không phải bởi kích thước của bất kỳ không gian vectơ nào, nó là một không gian con của.

Giải trình:

Kích thước của một không gian vectơ được xác định bởi số lượng vectơ trong một cơ sở của không gian đó (đối với các không gian chiều vô hạn, nó được xác định bởi giá trị chính của một cơ sở). Lưu ý rằng định nghĩa này phù hợp vì chúng ta có thể chứng minh rằng bất kỳ cơ sở nào của không gian vectơ sẽ có cùng số lượng vectơ như bất kỳ cơ sở nào khác.

Trong trường hợp # RR ^ n # Chúng ta biết rằng #dim (RR ^ n) = n # như

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

là cơ sở cho # RR ^ n # và có # n # các yếu tố.

Trong trường hợp #W = s, t trong RR # chúng ta có thể viết bất kỳ yếu tố nào trong # W # như #svec (u) + tvec (v) # Ở đâu #vec (u) = (4,1,0,1) # và #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Từ đây, chúng ta có điều đó # {vec (u), vec (v)} # là một bộ kéo dài cho # W #. Bởi vì #vec (u) # và #vec (v) # rõ ràng không phải là bội số vô hướng của nhau (lưu ý các vị trí của #0#s), điều đó có nghĩa là # {vec (u), vec (v)} # là một bộ kéo dài độc lập tuyến tính cho # W #, đó là, một cơ sở. Bởi vì # W # có cơ sở với #2# các yếu tố, chúng tôi nói rằng #dim (W) = 2 #.

Lưu ý rằng kích thước của không gian vectơ không phụ thuộc vào việc vectơ của nó có thể tồn tại trong các không gian vectơ khác có kích thước lớn hơn hay không. Mối quan hệ duy nhất là nếu # W # là một không gian con của # V # sau đó #dim (W) <= mờ (V) # và #dim (W) = mờ (V) <=> W = V #