Int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx là gì?

Câu trả lời:

#= 1/4#

Giải trình:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1 / 4ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Câu trả lời:

#1/4#

Giải trình:

Có thể làm điều này theo một số cách, đây là hai trong số đó. Đầu tiên là sử dụng thay thế:

#color (đỏ) ("Cách 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

Để cho #u = ln (x) ngụ ý du = (dx) / x #

Chuyển đổi các giới hạn:

#u = ln (x) ngụ ý u: 0 rarr 1 #

Tích phân trở thành:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

Đây là cách đơn giản hơn, nhưng không phải lúc nào bạn cũng có thể thay thế. Một thay thế là tích hợp bởi các bộ phận.

#color (đỏ) ("Phương pháp 2") #

Sử dụng tích hợp bởi các bộ phận:

Đối với chức năng #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) ngụ ý u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) ngụ ý v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Phân nhóm như các điều khoản:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#ther Before int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Chúng tôi đang làm việc với một tích phân xác định, do đó, áp dụng các giới hạn và loại bỏ hằng số:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #