Giả sử rằng bạn phóng một viên đạn với vận tốc đủ cao để nó có thể bắn trúng mục tiêu ở khoảng cách xa. Với vận tốc là 34 m / s và khoảng cách phạm vi là 73 m, hai góc có thể được phóng ra từ đâu?

Câu trả lời:

# alpha_1 ~ = 19,12 ° #

# alpha_2 ~ = 70,88 ° #.

Giải trình:

Chuyển động là một chuyển động parabol, đó là thành phần của hai chuyển động:

đầu tiên, ngang, là một chuyển động thống nhất với pháp luật:

# x = x_0 + v_ (0x) t #

và thứ hai là một chuyển động giảm tốc với luật:

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #,

Ở đâu:

• # (x, y) # là vị trí tại thời điểm đó # t #;
• # (x_0, y_0) # là vị trí ban đầu;
• # (v_ (0x), v_ (0y)) # là các thành phần của vận tốc ban đầu, nghĩa là, cho các định luật lượng giác:

  #v_ (0x) = v_0cosalpha #

  #v_ (0y) = v_0sinalpha #

  (# alpha # là góc mà vận tốc vectơ hình thành với phương ngang);

• # t # là thời gian;
• # g # là gia tốc trọng lực.

Để có được phương trình của chuyển động, một parabol, chúng ta phải giải hệ giữa hai phương trình đã viết ở trên.

# x = x_0 + v_ (0x) t #

# y = y_0 + v_ (0y) t + 1 / 2g t ^ 2 #.

Hãy tìm # t # từ phương trình đầu tiên và hãy thay thế trong phương trình thứ hai:

# t = (x-x_0) / v_ (0x) #

# y = y_0 + v_ (0y) (x-x_0) / v_ (0x) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / v_ (0x) ^ 2 # hoặc là:

# y = y_0 + v_0sinalpha (x-x_0) / (v_0cosalpha) -1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) # hoặc là

# y = y_0 + sinalpha (x-x_0) / cosalpha-1 / 2g * (x-x_0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) #

Để tìm phạm vi chúng ta có thể giả sử:

# (x_0, y_0) # là nguồn gốc #(0,0)#và điểm mà nó rơi có tọa độ: # (0, x) # (# x # Là phạm vi!), vì vậy:

# 0 = 0 + sinalpha * (x-0) / cosalpha-1 / 2g (x-0) ^ 2 / (v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) rArr #

# x * sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) x ^ 2 = 0rArr #

#x (sinalpha / cosalpha-g / (2v_0 ^ 2cos ^ 2alpha) x) = 0 #

# x = 0 # là một giải pháp (điểm ban đầu!)

# x = (2sinalphacosalphav_0 ^ 2) / g = (v_0 ^ 2sin2alpha) / g #

(sử dụng công thức hai góc của xoang).

Bây giờ chúng ta có đúng công thức trả lời câu hỏi:

# sin2alpha = (x * g) / v_0 ^ 2 = (73 * 9,8) / 34 ^ 2 ~ = 0,6189rArr #

# 2alpha_1 ~ = arcsin0,6189 + k360 ° ~ = 38,23 ° #

# alpha_1 ~ = 19,12 ° #

và (xoang có các giải pháp bổ sung):

# 2alpha_2 ~ = 180 ° -arcsin0,6189 + k360 ° ~ = 180 ° -38,23 ° ~ = 141,77 ° #

# alpha_2 ~ = 70,88 ° #.