Điểm cực và điểm yên của f (x, y) = xy (1-x-y) là gì?

Câu trả lời:

Các điểm #(0,0),(1,0)#và #(0,1)# là những điểm yên ngựa. Điểm #(1/3,1/3)# là một điểm tối đa cục bộ.

Giải trình:

Chúng tôi có thể mở rộng # f # đến #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. Tiếp theo, tìm các đạo hàm riêng và đặt chúng bằng 0.

# frac { part f} { part x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { một phần f} { một phần y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Thông suốt, # (x, y) = (0,0), (1,0), # và #(0,1)# là các giải pháp cho hệ thống này, và các điểm quan trọng của # f #. Các giải pháp khác có thể được tìm thấy từ hệ thống # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Giải phương trình đầu tiên cho # y # về mặt # x # cho # y = 1-2x #, có thể được cắm vào phương trình thứ hai để có được # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. Từ đây, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # cũng.

Để kiểm tra bản chất của các điểm quan trọng này, chúng tôi tìm các dẫn xuất thứ hai:

# frac { một phần ^ {2} f} { một phần x ^ {2}} = - 2y #, # frac { một phần ^ {2} f} { một phần y ^ {2}} = - 2x #và # frac { part ^ {2} f} { part x part y} = frac { part ^ {2} f} { part y part x} = 1-2x-2y #.

Do đó, người phân biệt đối xử là:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Cắm ba điểm quan trọng đầu tiên vào cho:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #và #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, làm cho những điểm yên ngựa điểm.

Cắm vào điểm quan trọng cuối cùng cho #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. Cũng lưu ý rằng # frac { một phần ^ {2} f} { một phần x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Vì thế, #(1/3,1/3)# là một vị trí có giá trị tối đa cục bộ của # f #. Bạn có thể kiểm tra xem chính giá trị tối đa cục bộ là #f (1 / 3,1 / 3) = 1/2 #.

Dưới đây là hình ảnh của bản đồ đường viền (của các đường cong mức) của # f # (các đường cong nơi đầu ra của # f # là hằng số), cùng với 4 điểm tới hạn của # f #.