Điểm cực trị tuyệt đối của f (x) = (9x ^ (1/3)) / (3x ^ 2-1) trong [2.9] là gì?

Câu trả lời:

Tối thiểu là # (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# xảy ra khi # x = 9 #.

Tối đa tuyệt đối là # (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # xảy ra khi # x = 2 #.

Giải trình:

Điểm cực trị tuyệt đối của hàm là giá trị y lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên một miền nhất định. Tên miền này có thể được trao cho chúng tôi (như trong vấn đề này) hoặc nó có thể là miền của chính chức năng. Ngay cả khi chúng ta được cung cấp tên miền, chúng ta phải xem xét tên miền của chính hàm đó, trong trường hợp nó loại trừ bất kỳ giá trị nào của miền mà chúng ta được cung cấp.

#f (x) # chứa số mũ #1/3#, mà không phải là một số nguyên. May mắn thay, miền của #p (x) = root3 (x) # Là # (- oo, oo) # Vì vậy, thực tế này không phải là một vấn đề.

Tuy nhiên, chúng ta vẫn cần xem xét thực tế là mẫu số không thể bằng không. Mẫu số sẽ bằng 0 khi #x = + - (1/3) = + - (sqrt (3) / 3) #. Cả hai giá trị này đều không nằm trong miền đã cho #2,9#.

Vì vậy, chúng tôi chuyển sang tìm cực đoan tuyệt đối trên #2,9#. Cực trị tuyệt đối xảy ra tại các điểm cuối của miền hoặc tại cực trị cục bộ, đó là các điểm mà hàm thay đổi hướng. Cực trị cục bộ xảy ra tại các điểm tới hạn, đó là các điểm trong miền mà đạo hàm bằng #0# hoặc không tồn tại. Như vậy, chúng ta phải tìm đạo hàm. Sử dụng quy tắc thương số:

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * (1/3) (9x ^ (- 2/3)) - 9x ^ (1/3) * 6x) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = ((3x ^ 2-1) * 3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (9x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3) -54x ^ (4/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

#f '(x) = (- 45x ^ (4/3) -3x ^ (- 2/3)) / (3x ^ 2-1) ^ 2 #

Nếu chúng ta yếu tố # -3x ^ (- 2/3) # Trong số tử số, chúng ta có:

#f '(x) = (- 3 (15x ^ 2 + 1)) / (x ^ (2/3) (3x ^ 2-1) #

Không có giá trị của # x # trên #2,9# Ở đâu #f '(x) # không tồn tại. Cũng không có giá trị nào trên #2,9# Ở đâu #f '(x) = 0 #. Do đó, không có điểm quan trọng trên tên miền nhất định.

Sử dụng "bài kiểm tra ứng viên", chúng tôi tìm thấy các giá trị của #f (x) # tại các điểm cuối. #f (2) = (9 * root3 (2)) / (3 * 4-1) #=# (9 * root3 (2)) / 11 #

#f (9) = (9 * root3 (9)) / (3 * 9-1) #=# (9 * root3 (9)) / 26 #

Kiểm tra nhanh trên máy tính của chúng tôi cho thấy:

# (9 * root3 (2)) / 11 ##=1.030844495… # (tối đa tuyệt đối)

# (9 * root3 (9)) / 26 ##=0.7200290…# (tối thiểu tuyệt đối)