Tại sao bạn cần tìm dạng lượng giác của một số phức?

Tùy thuộc vào những gì bạn cần làm với số phức của bạn, dạng lượng giác có thể rất hữu ích hoặc rất gai góc.

Ví dụ: để # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # và # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Hãy tính hai dạng lượng giác:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # và # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # và # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # và # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Vậy các dạng lượng giác là:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Thêm vào

Giả sử bạn muốn tính toán # z_1 + z_2 + z_3 #. Nếu bạn sử dụng dạng đại số, bạn sẽ nhận được

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Khá dễ. Bây giờ hãy thử với dạng lượng giác …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Hóa ra cách ngắn nhất để thêm hai biểu thức này là giải các cosin và sin, nghĩa là … chuyển sang dạng đại số!

Dạng đại số thường là dạng tốt nhất để chọn trong việc thêm số phức.

Phép nhân

Bây giờ chúng tôi cố gắng tính toán # z_1 * z_2 * z_3 #. Sử dụng các hình thức đại số đòi hỏi rất nhiều tính toán khó chịu. Nhưng việc giải quyết sản phẩm này bằng các hình thức lượng giác thì đơn giản hơn:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Các thành phần để chứng minh rằng sự bình đẳng thứ hai giữ đến từ lượng giác: hai công thức bổ sung

#sin (alpha + beta) = sin (alpha) cos (beta) + sin (beta) cos (alpha) #

#cos (alpha + beta) = cos (alpha) cos (beta) -sin (alpha) sin (beta) #

Phép nhân số phức thậm chí còn sạch hơn (nhưng về mặt khái niệm không dễ hơn) ở dạng hàm mũ.

Theo một cách hiểu nào đó, dạng lượng giác là một dạng ở giữa dạng giữa đại số và dạng hàm mũ. Dạng lượng giác là cách để chuyển đổi giữa hai. Theo nghĩa này, nó là một dạng của "từ điển" để "dịch".