Bán kính của một hình tròn được ghi trong một tam giác đều là 2. Chu vi của tam giác là gì?

Câu trả lời:

Chu vi bằng # 12sqrt (3) #

Giải trình:

Có nhiều cách để giải quyết vấn đề này.

Đây là một trong số chúng.

Tâm của một vòng tròn được ghi vào một hình tam giác nằm trên giao điểm của các góc của nó. Đối với tam giác đều, đây là điểm tương tự mà độ cao và đường trung tuyến của nó cũng giao nhau.

Bất kỳ trung vị nào được chia cho một điểm giao nhau với các trung vị khác theo tỷ lệ #1:2#. Do đó, đường phân giác trung bình, độ cao và góc của một tam giác đều trong câu hỏi tương đương với

#2+2+2 = 6#

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagore để tìm một cạnh của tam giác này nếu chúng ta biết bisector độ cao / trung vị / góc của nó.

Nếu một bên là # x #, từ định lý Pythagore

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Từ đây:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Chu vi bằng ba cạnh như vậy:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Câu trả lời:

Chu vi bằng # 12sqrt (3) #

Giải trình:

Phương pháp thay thế là dưới đây.

Giả sử, tam giác đều của chúng ta là #Delta ABC # và nó là trung tâm của một vòng tròn được ghi là # O #.

Vẽ một bisector trung vị / độ cao.angle từ đỉnh # A # thông qua điểm # O # cho đến khi nó giao nhau # BC # Ở điểm # M #. Chắc chắn, # OM = 2 #.

Xét tam giác #Delta OBM #.

nó là đúng kể từ khi #OM_ | _BM #.

Góc # / _ OBM = 30 ^ o # kể từ khi # BO # là một góc chia của # / _ ABC #.

Bên # BM # là một nửa của bên # BC # kể từ khi #LÀ# là một trung bình.

Bây giờ chúng ta có thể tìm thấy # OB # như một cạnh huyền trong một tam giác vuông có một góc nhọn bằng # 30 ^ o # và cathetus đối diện với nó bằng #2#. Đường huyền này dài gấp đôi so với cathetus này, nghĩa là #4#.

Có thôi miên # OB # và cathetus # OM #, tìm một giáo đường khác # BM # bởi Định lý Pythagore:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Vì thế,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Chu vi là

# 3 * BC = 12sqrt (3) #