Chứng minh: 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x)?

Để chứng minh # 3cos ^ -1x = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Để cho # cos ^ -1x = theta #

# => x = costheta #

Hiện nay # LHS = 3theta #

# = cos ^ -1cos (3theta) #

# = cos ^ -1 (4cos ^ 3theta-3costheta) #

# = cos ^ -1 (4x ^ 3-3x) #

Chỉ

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 -3 x) #

Đôi khi trig ít làm toán và hơn là nhận ra toán khi chúng ta thấy nó. Ở đây chúng tôi nhận ra # 4x ^ 3 -3x # như công thức ba góc cosin, # cos (3 theta) # khi nào # x = cos theta #.

Factoid: # 4x ^ 3-3x # Cũng được gọi là # T_3 (x) #, Đa thức thứ ba Ch Quashev thuộc loại thứ nhất. Nói chung, # cos (nx) = T_n (cos x). #

Chúng tôi sẽ giả định # hồ quang # đề cập đến giá trị chính. Tôi thích gọi hiệu trưởng #text {Arc} văn bản {cos} # nhưng khó gõ hơn.

Đủ nền. Khi chúng tôi đã nhận ra công thức ba góc, bằng chứng rất dễ dàng.

Bằng chứng:

Để cho #theta = arccos x. #

# x = cos theta #

# cos 3 theta = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta #

# cos 3 (arccos x) = 4x ^ 3 - 3 x #

# 3 arccos x = arccos (4x ^ 3 - 3x) quad sqrt #