Phân số tiếp tục chức năng (FCF) của lớp hàm mũ được xác định bởi a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) , a> 0. Khi đặt a = e = 2.718281828 .., làm thế nào để bạn chứng minh rằng e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470, gần?

Câu trả lời:

Xem giải thích …

Giải trình:

Để cho #t = a_ (cf) (x; b) #

Sau đó:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

Nói cách khác, # t # là một điểm cố định của ánh xạ:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

Lưu ý rằng chính nó, # t # là một điểm cố định của #F (t) # không đủ để chứng minh rằng #t = a_ (cf) (x; b) #. Có thể có điểm cố định không ổn định và ổn định.

Ví dụ, #2016^(1/2016)# là một điểm cố định của #x -> x ^ x #, nhưng không phải là một giải pháp của # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (Không có giải pháp).

Tuy nhiên, chúng ta hãy xem xét #a = e #, #x = 0,1 #, #b = 1.0 # và #t = 1.880789470 #

Sau đó:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #

# ~ ~ e ^ (0,1 + 0,5316916199) #

# = e ^ 0,6316916199 #

# ~ ~ 1.880789471 ~ ~ t #

Vì vậy, giá trị này của # t # rất gần với một điểm cố định của #F_ (a, b, x) #

Để chứng minh rằng nó ổn định, hãy xem xét đạo hàm gần # t #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0,1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) #

Vì vậy, chúng tôi tìm thấy:

#F '_ (e, 1,0.1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~ ~ -0,5316916199 #

Vì đây là số âm và có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn #1#, điểm cố định tại # t # Ổn định.

Cũng lưu ý rằng đối với mọi giá trị thực khác không #S# chúng ta có:

#F '_ (e, 1,0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0,1 + 1 / s) <0 #

Đó là #F_ (e, 1,0.1) (s) # đang giảm nghiêm trọng đơn điệu.

Vì thế # t # là điểm cố định ổn định duy nhất.

Câu trả lời:

Hành vi tương phản.

Giải trình:

Với #a = e # và #x = x_0 # việc lặp lại như sau

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # và cũng

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

Hãy để chúng tôi điều tra các điều kiện cho một sự co lại trong toán tử lặp.

Trừ cả hai bên

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

nhưng trong xấp xỉ đầu tiên

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

hoặc là

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} khoảng -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-y_ {k-1}) #

Để có một cơn co, chúng ta cần

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

Điều này đạt được nếu

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. Giả sử #b> 0 # và #k = 1 # chúng ta có.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

Vì vậy # x_0 # và # b # mối quan hệ này cho phép chúng tôi tìm thấy sự lặp lại ban đầu theo hành vi hợp đồng.