Điểm cực trị cục bộ của f (x) = sinx trên [0,2pi] là gì?

Câu trả lời:

Tại # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # chúng ta có một cực đại địa phương và tại # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # chúng tôi có một cực tiểu địa phương.

Giải trình:

Cực đại là một điểm cao mà hàm tăng lên rồi lại rơi. Như vậy độ dốc của tiếp tuyến hoặc giá trị của đạo hàm tại điểm đó sẽ bằng không.

Hơn nữa, vì các tiếp tuyến bên trái của cực đại sẽ dốc lên trên, sau đó làm phẳng và sau đó dốc xuống, độ dốc của tiếp tuyến sẽ liên tục giảm, tức là giá trị của đạo hàm cấp hai sẽ âm.

Mặt khác, cực tiểu là một điểm thấp mà hàm rơi xuống và sau đó tăng trở lại. Như vậy tiếp tuyến hoặc giá trị của đạo hàm tại cực tiểu cũng sẽ bằng không.

Nhưng, vì các tiếp tuyến ở bên trái của cực tiểu sẽ dốc xuống, sau đó làm phẳng và sau đó dốc lên, độ dốc của tiếp tuyến sẽ liên tục tăng hoặc giá trị của đạo hàm thứ hai sẽ dương.

Tuy nhiên, các cực đại và cực tiểu này có thể là phổ quát, tức là cực đại hoặc cực tiểu cho toàn bộ phạm vi hoặc có thể được bản địa hóa, tức là cực đại hoặc cực tiểu trong một phạm vi giới hạn.

Chúng ta hãy xem điều này với tham chiếu đến chức năng được mô tả trong câu hỏi và để chúng ta trước tiên hãy phân biệt #f (x) = sinx #.

#f '(x) = cosx # và hơn thế nữa # 0,2pi # nó là #0# tại # x = pi / 2 # và # x = (3pi) / 2 #.

#f '' (x) = - sinx # và trong khi tại # x = pi / 2 # #f '' (x) = - 1 # có nghĩa là chúng ta có một cực đại địa phương, tại # x = 3pi / 2 #, #f '' (x) = 1 # có nghĩa là chúng ta có một cực tiểu địa phương.

đồ thị {sinx -1, 7, -1,5, 1,5}