Một tam giác có cạnh A, B và C. Cạnh A và B có độ dài lần lượt là 3 và 5. Góc giữa A và C là (13pi) / 24 và góc giữa B và C là (7pi) / 24. Diện tích của tam giác là gì?

Câu trả lời:

Bằng cách sử dụng 3 luật:

• Tổng các góc
• Định luật vũ trụ
• Công thức của Heron

Diện tích là 3,75

Giải trình:

Định luật cosin cho bên C nêu rõ:

# C ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2-2 * A * B * cos (c) #

hoặc là

# C = sqrt (A ^ 2 + B ^ 2-2 * A * B * cos (c)) #

trong đó 'c' là góc giữa các cạnh A và B. Điều này có thể được tìm thấy bằng cách biết rằng tổng độ của tất cả các góc bằng 180 hoặc, trong trường hợp này nói bằng rad, π:

# a + b + c = π #

# c = π-b-c = π-13 / 24π-7 / 24π = 24 / 24π-13 / 24π-7 / 24π = (24-13-7) / 24π = 4 / 24π = π / 6 #

# c = π / 6 #

Bây giờ góc c đã biết, cạnh C có thể được tính:

# C = sqrt (3 ^ 2 + 5 ^ 2-2 * 3 * 5 * cos (π / 6)) = sqrt (9 + 25-30 * sqrt (3) / 2) = 8.019 #

# C = 2,8318 #

Công thức của Heron tính diện tích của bất kỳ tam giác nào được cho 3 cạnh bằng cách tính một nửa chu vi:

# τ = (A + B + C) / 2 = (3 + 5 + 2.8318) /2=5.416#

và sử dụng công thức:

# Diện tích = sqrt (τ (τ-A) (-B) (-C)) = sqrt (5.416 (5.416-3) (5.416-5) (5.416-2.8318)) = 3.75 #

# Diện tích = 3,75 #