Điểm cực trị của f (x) = 3x - 1 / sinx trên [pi / 2, (3pi) / 4] là gì?

Câu trả lời:

Tối thiểu tuyệt đối trên tên miền xảy ra ở khoảng. # (pi / 2, 3.7124) #và tối đa tuyệt đối trên miền xảy ra ở khoảng. # (3pi / 4, 5.6544) #. Không có cực trị cục bộ.

Giải trình:

Trước khi chúng tôi bắt đầu, nó sẽ cho chúng tôi phân tích và xem nếu #sin x # mất một giá trị #0# tại bất kỳ điểm nào trên khoảng #sin x # bằng 0 cho tất cả x sao cho #x = npi #. # pi / 2 # và # 3pi / 4 # đều ít hơn #số Pi# và lớn hơn # 0pi = 0 #; do đó, #sin x # không có giá trị bằng 0 ở đây.

Để xác định điều này, hãy nhớ lại rằng một cực đoan xảy ra #f '(x) = 0 # (điểm quan trọng) hoặc tại một trong các điểm cuối. Điều này trong tâm trí, chúng tôi lấy đạo hàm của f (x) ở trên và tìm các điểm trong đó đạo hàm này bằng 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Làm thế nào chúng ta nên giải quyết thuật ngữ cuối cùng này?

Hãy xem xét ngắn gọn quy tắc đối ứng, được phát triển để xử lý các tình huống như nhiệm kỳ trước của chúng tôi ở đây, # d / (dx) (1 / sin x) #. Quy tắc đối ứng cho phép chúng ta bỏ qua trực tiếp bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi hoặc thương số bằng cách nêu rõ chức năng khác biệt đó #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

khi nào #g (x)! = 0 #

Quay trở lại phương trình chính của chúng tôi, chúng tôi rời đi với;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Kể từ khi #sin (x) # là khác biệt, chúng ta có thể áp dụng quy tắc đối ứng ở đây:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Đặt giá trị này bằng 0, chúng tôi đến:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Điều này chỉ có thể xảy ra khi #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. Từ đây, nó có thể khiến chúng ta sử dụng một trong những định nghĩa lượng giác, cụ thể là # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Điều này giống như một đa thức, với #cos x # thay thế x truyền thống của chúng tôi. Vì vậy, chúng tôi tuyên bố #cos x = u # và …

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Sử dụng công thức bậc hai ở đây …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Rễ của chúng ta xảy ra tại #u = (1 + -sqrt37) / 6 # theo điều này Tuy nhiên, một trong những gốc rễ này (# (1 + sqrt37) / 6 #) không thể là một gốc cho #cos x # bởi vì gốc lớn hơn 1 và # -1 <= cosx <= 1 # cho tất cả x. Mặt khác, gốc thứ hai của chúng ta tính toán xấp xỉ #-.847127#. Tuy nhiên, giá trị này nhỏ hơn giá trị tối thiểu #cos x # chức năng có thể trên khoảng (kể từ #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Như vậy không có điểm quan trọng trong miền.

Điều này trong tâm trí, chúng ta phải quay trở lại điểm cuối của chúng tôi và đưa chúng vào chức năng ban đầu. Làm như vậy, chúng ta có được #f (pi / 2) khoảng 3.7124, f (3pi / 4) khoảng 5.6544 #

Do đó, tối thiểu tuyệt đối của chúng tôi trên miền là khoảng # (pi / 2, 3.7124), # và tối đa của chúng tôi là khoảng # (3pi / 4, 5.6544) #