Cực đại và cực tiểu cục bộ của f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2 là gì?

Câu trả lời:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Hàm này có tiệm cận đứng tại # x = 2 #, cách tiếp cận #1# từ trên khi x đi đến # + oo # (tiệm cận ngang) và cách tiếp cận #1# từ bên dưới khi x đi đến # -oo #. Tất cả các dẫn xuất không được xác định tại # x = 2 # cũng. Có một cực tiểu địa phương tại # x = 0 #, # y = 0 # (Tất cả những rắc rối cho nguồn gốc!)

Lưu ý rằng bạn có thể muốn kiểm tra toán học của tôi, ngay cả những người giỏi nhất trong chúng ta bỏ dấu âm lẻ và đây là một câu hỏi dài.

Giải trình:

#f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Hàm này có tiệm cận đứng tại # x = 2 #, bởi vì mẫu số bằng 0 khi # x = 2 #.

Nó tiếp cận #1# từ trên khi x đi đến # + oo # (tiệm cận ngang) và cách tiếp cận #1# từ bên dưới khi x đi đến # -oo #, vì giá trị lớn # x ^ 2 ~ = (x-2) ^ 2 # với # x ^ 2> (x-2) ^ 2 # cho #x> 0 # và # x ^ 2 <(x-2) ^ 2 # cho #x <0 #.

Để tìm max / min chúng ta cần các đạo hàm thứ nhất và thứ hai.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Sử dụng quy tắc thương!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2) ^ 4}) #.

Sử dụng quy tắc cho quyền hạn và quy tắc chuỗi chúng tôi nhận được:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4 #.

Bây giờ chúng tôi dọn dẹp một chút …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Bây giờ đạo hàm thứ hai, được thực hiện như đầu tiên.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

Nó xấu xí nhưng chúng ta chỉ cần cắm và lưu ý nơi nó cư xử tệ.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Chức năng này không được xác định tại # x = 2 #, tiệm cận đó, nhưng trông ổn ở mọi nơi khác.

Chúng tôi muốn biết là tối đa / phút là …

chúng tôi đặt # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # đây là 0 khi tử số bằng 0 và nếu mẫu số thì không.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # hoặc là # 4x (2-x) = 0 # Đây là số không # x = 0 # và # x = 2 #, nhưng chúng ta không thể có tối đa / phút là đạo hàm / hàm không được xác định, vì vậy khả năng duy nhất là # x = 0 #.

"bài kiểm tra phái sinh thứ hai"

Bây giờ chúng ta nhìn vào đạo hàm thứ hai, xấu xí như nó …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Giống như hàm và đạo hàm đầu tiên, điều này không được xác định tại # x = 2 #, nhưng có vẻ tốt ở mọi nơi khác.

Chúng tôi cắm # x = 0 # vào # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, không phải là một con số đáng yêu để cắm nó sao?

#=128/256# tất cả điều đó cho #1/2#

#1/2 >0# vì thế # x = 0 # là một cực tiểu địa phương.

Để tìm giá trị y chúng ta cần cắm nó vào hàm.

#f (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Nguồn gốc!