Giải quyết điều này bằng cách sử dụng tích phân riemann?

Câu trả lời:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # hoặc là # khoảng 1.302054638 … #

Giải trình:

Danh tính quan trọng nhất số một để giải quyết bất kỳ loại vấn đề nào với sản phẩm vô hạn là chuyển đổi nó thành vấn đề về số tiền vô hạn:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

NHIỆM VỤ:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Nhưng, trước khi chúng ta có thể làm điều này, trước tiên chúng ta phải xử lý # frac {1} {n ^ 2} trong phương trình và btw hãy gọi là sản phẩm vô hạn L:

# L = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Bây giờ chúng ta có thể chuyển đổi này thành một tổng vô hạn:

# L = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

áp dụng thuộc tính logarit:

# L = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

Và sử dụng các thuộc tính giới hạn:

# L = exp lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Hãy gọi tổng vô hạn S:

# S = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Và hãy nhớ rằng

# L = exp (S) #

Bây giờ hãy giải quyết câu hỏi của bạn bằng cách chuyển đổi nó từ một RIEMANN SUM đến một DEFINITE TỔNG HỢP:

Nhắc lại định nghĩa của tổng Riemann là:

NHIỆM VỤ:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

Để cho

# lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n đến + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Bây giờ, hãy để # f (x) = ln (1 + x ^ 2) và a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Do đó, b = 1 tức là

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Vì thế,

# S = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Giải quyết cho # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

sử dụng tích hợp bởi các bộ phận:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Để cho # u = ln (1 + x ^ 2) và v = 1 #

Sau đó, sử dụng quy tắc chuỗi và đạo hàm của logarit tự nhiên để có được # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

và sử dụng quy tắc sức mạnh để có được: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Sử dụng quy tắc trừ:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Sử dụng quy tắc công suất cho tích phân thứ nhất và tích phân thứ hai là hàm lượng giác chuẩn # arctan (x) # (nghịch đảo của hàm tiếp tuyến)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Như vậy # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Bây giờ giải quyết cho tích phân xác định:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

chúng ta biết rằng chống đạo hàm là # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 cungtan (x) + C #, Như vậy

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

lưu ý rằng arctan (1) là 45 ° hoặc # frac { pi} {4} # (nhớ lại tam giác vuông đặc biệt có độ dài cạnh 1,1, # sqrt {2} # và các góc 45 °, 45 °, 90 °) và cũng # arctan (0) = 0 #

Như vậy #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2} #

hoặc là # khoảng 0,263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Do đó, giải pháp là # lim_ {n đến + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # hoặc là # khoảng 1.302054638 … #