Giải quyết e ^ x-lnx <= e / x?

Câu trả lời:

Vì vậy, giải pháp của sự bất bình đẳng này làm cho nó đúng #x trong (0,1 #

Giải trình:

xem xét #f (x) = e ^ x-lnx-e / x #,chúng ta có

#f '(x) = e ^ x-1 / x + e / x ^ 2 #

lập luận rằng #f '(x)> 0 # cho tất cả x thực và kết luận rằng #f (1) = 0 #

#f (1) = e-ln1-e = 0 #

xem xét giới hạn của f khi x đi về 0

#lim_ (xrarr0) e ^ x-lnx-e / x #

#lim_ (xrarr0 ^ +) e ^ x-lnx-e / x = -oo #

Nói cách khác, bằng cách hiển thị #f '(x)> 0 # bạn cho thấy rằng chức năng đang tăng nghiêm ngặt, và nếu #f (1) = 0 # đó có nghĩa là #f (x) <0 #

cho #x <1 # vì chức năng luôn phát triển.

từ định nghĩa của # lnx #

# lnx # được định nghĩa cho mỗi #x> 0 #

từ định nghĩa của # e ^ x #

# e ^ x # được định nghĩa cho mỗi #x> = 0 #

nhưng # e / x = e / 0 # chưa xác định

Vì vậy, giải pháp của sự bất bình đẳng này làm cho nó đúng #x trong (0,1 #