Phạm vi của y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1) là gì?

Trước tiên chúng ta hãy xem xét tên miền:

Cho những giá trị nào của # x # hàm được định nghĩa?

Tử số # (1-x) ^ (1/2) # chỉ được định nghĩa khi # (1-x)> = 0 #. Thêm # x # đến cả hai phía của điều này bạn tìm thấy #x <= 1 #.

Chúng tôi cũng yêu cầu mẫu số phải khác không.

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # bằng không khi #x = -1 / 2 # và khi #x = -1 #.

Vì vậy, miền của hàm là

# {x bằng RR: x <= 1 và x! = -1 và x! = -1/2} #

Định nghĩa #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # trên miền này.

Chúng ta hãy xem xét từng khoảng liên tục trong miền riêng biệt:

Trong mỗi trường hợp, hãy để #epsilon> 0 # là một số dương nhỏ.

Trường hợp (a): #x <-1 #

Đối với các giá trị âm lớn của # x #, #f (x) # là nhỏ và tích cực.

Ở đầu kia của khoảng này, nếu #x = -1 - epsilon # sau đó

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # như #epsilon -> 0 #

Vì vậy đối với #x <-1 # phạm vi của #f (x) # Là # (0, + oo) #

Trường hợp (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # như #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

Vì vậy đối với # -1 / 2 <x <= 1 # phạm vi của #f (x) # Là # 0, + oo) #

Trường hợp (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / (((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # như #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # như #epsilon -> 0 #

Vì vậy, câu hỏi thú vị là giá trị tối đa của #f (x) # trong khoảng thời gian này. Để tìm giá trị của # x # trong đó điều này xảy ra tìm kiếm đạo hàm bằng không.

# d / (dx) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

Đây sẽ là 0 khi tử số bằng 0, vì vậy chúng tôi muốn giải quyết:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

Nhân qua # 2 (1-x) ^ (1/2) # để có được:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

Đó là:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

có rễ # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

Trong số những rễ này, #x = (5-sqrt (194)) / 12 # rơi vào khoảng liên quan.

Thay thế này trở lại vào #f (x) # để tìm mức tối đa #f (x) trong khoảng này (khoảng -10).

Điều này có vẻ quá phức tạp với tôi. Tôi đã thực hiện bất kỳ lỗi?

Câu trả lời: Phạm vi của chức năng là # (- oo, -10,58 uu 0, oo) #

Dành cho #x trong (-oo, -1) # #-># #y trong (0, oo) #

Dành cho #x trong (-1, -0,5) # #-># #y trong (-oo, -10,58 #

Dành cho #x trong (-0,5, 1 # #-># #y trong 0, oo) #